Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6162 / 14354
↖ ↑ ↗
← S 79.245389°
W 44.604492°		 ← 455.92 m → S 79.245389°
W 44.582519°		 →
↑
455.78 m
↓
↑
455.78 m
↓
S 79.249488°
W 44.604492°		 ← 455.75 m →
207 762 m²		 S 79.249488°
W 44.582519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376129150390625 y=0.876129150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376129150390625 × 214)
    floor (0.376129150390625 × 16384)
    floor (6162.5)     		tx = 6162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876129150390625 × 214)
    floor (0.876129150390625 × 16384)
    floor (14354.5)     		ty = 14354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6162 / 14354 ti = "14/6162/14354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6162/14354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6162 ÷ 214
    6162 ÷ 16384     		x = 0.3760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14354 ÷ 214
    14354 ÷ 16384     		y = 0.8760986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.247802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77849525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.752197265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36309740367029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77849525} λ = -0.77849525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36309740367029))-π/2
    2×atan(0.0941282181126894)-π/2
    2×0.0938516908552738-π/2
    0.187703381710548-1.57079632675     		φ = -1.38309295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77849525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.604492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38309295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.245389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6162 KachelY 14354 -0.77849525 -1.38309295 -44.604492 -79.245389
    Oben rechts KachelX + 1 6163 KachelY 14354 -0.77811175 -1.38309295 -44.582519 -79.245389
    Unten links KachelX 6162 KachelY + 1 14355 -0.77849525 -1.38316449 -44.604492 -79.249488
    Unten rechts KachelX + 1 6163 KachelY + 1 14355 -0.77811175 -1.38316449 -44.582519 -79.249488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38309295--1.38316449) × R
    7.15399999999811e-05 × 6371000     		dl = 455.781339999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38309295--1.38316449) × R
    7.15399999999811e-05 × 6371000     		dr = 455.781339999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77849525--0.77811175) × cos(-1.38309295) × R
    0.000383499999999981 × 0.186603105179365 × 6371000     		do = 455.923354917958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77849525--0.77811175) × cos(-1.38316449) × R
    0.000383499999999981 × 0.186532821274633 × 6371000     		du = 455.751631764631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38309295)-sin(-1.38316449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186603105179365-0.186532821274633)×R²
    abs(-0.77811175--0.77849525)×7.02839047314885e-05×R²
    0.000383499999999981×7.02839047314885e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.02839047314885e-05×40589641000000     		ar = 207762.223626593m²