Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6164 / 10292
↖ ↑ ↗
← S 41.836828°
W 44.560547°		 ← 1 820.36 m → S 41.836828°
W 44.538574°		 →
↑
1 820.13 m
↓
↑
1 820.13 m
↓
S 41.853196°
W 44.560547°		 ← 1 819.89 m →
3 312 867 m²		 S 41.853196°
W 44.538574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376251220703125 y=0.628204345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376251220703125 × 214)
    floor (0.376251220703125 × 16384)
    floor (6164.5)     		tx = 6164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628204345703125 × 214)
    floor (0.628204345703125 × 16384)
    floor (10292.5)     		ty = 10292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6164 / 10292 ti = "14/6164/10292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6164/10292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6164 ÷ 214
    6164 ÷ 16384     		x = 0.376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10292 ÷ 214
    10292 ÷ 16384     		y = 0.628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.24755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77772826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.25634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.805339913616943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77772826} λ = -0.77772826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805339913616943))-π/2
    2×atan(0.446935981110774)-π/2
    2×0.420302966026131-π/2
    0.840605932052262-1.57079632675     		φ = -0.73019039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77772826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.560547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73019039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.836828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6164 KachelY 10292 -0.77772826 -0.73019039 -44.560547 -41.836828
    Oben rechts KachelX + 1 6165 KachelY 10292 -0.77734476 -0.73019039 -44.538574 -41.836828
    Unten links KachelX 6164 KachelY + 1 10293 -0.77772826 -0.73047608 -44.560547 -41.853196
    Unten rechts KachelX + 1 6165 KachelY + 1 10293 -0.77734476 -0.73047608 -44.538574 -41.853196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73019039--0.73047608) × R
    0.000285690000000005 × 6371000     		dl = 1820.13099000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73019039--0.73047608) × R
    0.000285690000000005 × 6371000     		dr = 1820.13099000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77772826--0.77734476) × cos(-0.73019039) × R
    0.000383499999999981 × 0.745047423530157 × 6371000     		do = 1820.35835139154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77772826--0.77734476) × cos(-0.73047608) × R
    0.000383499999999981 × 0.744856834613336 × 6371000     		du = 1819.89268958873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73019039)-sin(-0.73047608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745047423530157-0.744856834613336)×R²
    abs(-0.77734476--0.77772826)×0.000190588916820889×R²
    0.000383499999999981×0.000190588916820889×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190588916820889×40589641000000     		ar = 3312866.88806682m²