Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6164 / 2068
↖ ↑ ↗
← N 66.160510°
E 90.878906°		 ← 1 975.03 m → N 66.160510°
E 90.922852°		 →
↑
1 975.65 m
↓
↑
1 975.65 m
↓
N 66.142743°
E 90.878906°		 ← 1 976.41 m →
3 903 328 m²		 N 66.142743°
E 90.922852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75250244140625 y=0.25250244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75250244140625 × 213)
    floor (0.75250244140625 × 8192)
    floor (6164.5)     		tx = 6164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25250244140625 × 213)
    floor (0.25250244140625 × 8192)
    floor (2068.5)     		ty = 2068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6164 / 2068 ti = "13/6164/2068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6164/2068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6164 ÷ 213
    6164 ÷ 8192     		x = 0.75244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2068 ÷ 213
    2068 ÷ 8192     		y = 0.25244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75244140625 × 2 - 1) × π
    0.5048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58613613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25244140625 × 2 - 1) × π
    0.4951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.55545651887158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58613613} λ = 1.58613613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55545651887158))-π/2
    2×atan(4.73724867501029)-π/2
    2×1.36275753542635-π/2
    2.72551507085269-1.57079632675     		φ = 1.15471874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58613613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15471874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.160510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6164 KachelY 2068 1.58613613 1.15471874 90.878906 66.160510
    Oben rechts KachelX + 1 6165 KachelY 2068 1.58690313 1.15471874 90.922852 66.160510
    Unten links KachelX 6164 KachelY + 1 2069 1.58613613 1.15440864 90.878906 66.142743
    Unten rechts KachelX + 1 6165 KachelY + 1 2069 1.58690313 1.15440864 90.922852 66.142743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15471874-1.15440864) × R
    0.000310100000000091 × 6371000     		dl = 1975.64710000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15471874-1.15440864) × R
    0.000310100000000091 × 6371000     		dr = 1975.64710000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58613613-1.58690313) × cos(1.15471874) × R
    0.000766999999999962 × 0.40417581336684 × 6371000     		do = 1975.02815003833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58613613-1.58690313) × cos(1.15440864) × R
    0.000766999999999962 × 0.404459436605554 × 6371000     		du = 1976.41409116083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15471874)-sin(1.15440864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40417581336684-0.404459436605554)×R²
    abs(1.58690313-1.58613613)×0.000283623238714059×R²
    0.000766999999999962×0.000283623238714059×6371000²
    0.000766999999999962×0.000283623238714059×40589641000000     		ar = 3903327.73360189m²