Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6166 / 10262
↖ ↑ ↗
← S 41.343824°
W 44.516602°		 ← 1 834.31 m → S 41.343824°
W 44.494629°		 →
↑
1 834.08 m
↓
↑
1 834.08 m
↓
S 41.360319°
W 44.516602°		 ← 1 833.85 m →
3 363 858 m²		 S 41.360319°
W 44.494629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376373291015625 y=0.626373291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376373291015625 × 214)
    floor (0.376373291015625 × 16384)
    floor (6166.5)     		tx = 6166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626373291015625 × 214)
    floor (0.626373291015625 × 16384)
    floor (10262.5)     		ty = 10262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6166 / 10262 ti = "14/6166/10262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6166/10262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6166 ÷ 214
    6166 ÷ 16384     		x = 0.3763427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10262 ÷ 214
    10262 ÷ 16384     		y = 0.6263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.247314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77696127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6263427734375 × 2 - 1) × π
    -0.252685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.79383505770813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77696127} λ = -0.77696127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.79383505770813))-π/2
    2×atan(0.452107607538701)-π/2
    2×0.424605231251637-π/2
    0.849210462503275-1.57079632675     		φ = -0.72158586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77696127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.516602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72158586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.343824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6166 KachelY 10262 -0.77696127 -0.72158586 -44.516602 -41.343824
    Oben rechts KachelX + 1 6167 KachelY 10262 -0.77657777 -0.72158586 -44.494629 -41.343824
    Unten links KachelX 6166 KachelY + 1 10263 -0.77696127 -0.72187374 -44.516602 -41.360319
    Unten rechts KachelX + 1 6167 KachelY + 1 10263 -0.77657777 -0.72187374 -44.494629 -41.360319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72158586--0.72187374) × R
    0.000287880000000018 × 6371000     		dl = 1834.08348000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72158586--0.72187374) × R
    0.000287880000000018 × 6371000     		dr = 1834.08348000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77696127--0.77657777) × cos(-0.72158586) × R
    0.000383500000000092 × 0.750759092425873 × 6371000     		do = 1834.31354920409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77696127--0.77657777) × cos(-0.72187374) × R
    0.000383500000000092 × 0.750568894671019 × 6371000     		du = 1833.84884311891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72158586)-sin(-0.72187374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750759092425873-0.750568894671019)×R²
    abs(-0.77657777--0.77696127)×0.000190197754853516×R²
    0.000383500000000092×0.000190197754853516×6371000²
    0.000383500000000092×0.000190197754853516×40589641000000     		ar = 3363858.04609125m²