Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6168 / 10232
↖ ↑ ↗
← S 40.847060°
W 44.472656°		 ← 1 848.24 m → S 40.847060°
W 44.450683°		 →
↑
1 847.97 m
↓
↑
1 847.97 m
↓
S 40.863679°
W 44.472656°		 ← 1 847.77 m →
3 415 064 m²		 S 40.863679°
W 44.450683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376495361328125 y=0.624542236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376495361328125 × 214)
    floor (0.376495361328125 × 16384)
    floor (6168.5)     		tx = 6168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624542236328125 × 214)
    floor (0.624542236328125 × 16384)
    floor (10232.5)     		ty = 10232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6168 / 10232 ti = "14/6168/10232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6168/10232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6168 ÷ 214
    6168 ÷ 16384     		x = 0.37646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10232 ÷ 214
    10232 ÷ 16384     		y = 0.62451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37646484375 × 2 - 1) × π
    -0.2470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77619428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.782330201799316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77619428} λ = -0.77619428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782330201799316))-π/2
    2×atan(0.457339076362498)-π/2
    2×0.428940316918761-π/2
    0.857880633837521-1.57079632675     		φ = -0.71291569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77619428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.472656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71291569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.847060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6168 KachelY 10232 -0.77619428 -0.71291569 -44.472656 -40.847060
    Oben rechts KachelX + 1 6169 KachelY 10232 -0.77581078 -0.71291569 -44.450683 -40.847060
    Unten links KachelX 6168 KachelY + 1 10233 -0.77619428 -0.71320575 -44.472656 -40.863679
    Unten rechts KachelX + 1 6169 KachelY + 1 10233 -0.77581078 -0.71320575 -44.450683 -40.863679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71291569--0.71320575) × R
    0.000290059999999981 × 6371000     		dl = 1847.97225999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71291569--0.71320575) × R
    0.000290059999999981 × 6371000     		dr = 1847.97225999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77619428--0.77581078) × cos(-0.71291569) × R
    0.000383499999999981 × 0.756458109966538 × 6371000     		do = 1848.23783623179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77619428--0.77581078) × cos(-0.71320575) × R
    0.000383499999999981 × 0.756268366682297 × 6371000     		du = 1847.77424054488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71291569)-sin(-0.71320575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756458109966538-0.756268366682297)×R²
    abs(-0.77581078--0.77619428)×0.000189743284240707×R²
    0.000383499999999981×0.000189743284240707×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189743284240707×40589641000000     		ar = 3415063.91919808m²