Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6168 / 10264
↖ ↑ ↗
← S 41.376808°
W 44.472656°		 ← 1 833.38 m → S 41.376808°
W 44.450683°		 →
↑
1 833.13 m
↓
↑
1 833.13 m
↓
S 41.393294°
W 44.472656°		 ← 1 832.92 m →
3 360 401 m²		 S 41.393294°
W 44.450683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376495361328125 y=0.626495361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376495361328125 × 214)
    floor (0.376495361328125 × 16384)
    floor (6168.5)     		tx = 6168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626495361328125 × 214)
    floor (0.626495361328125 × 16384)
    floor (10264.5)     		ty = 10264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6168 / 10264 ti = "14/6168/10264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6168/10264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6168 ÷ 214
    6168 ÷ 16384     		x = 0.37646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10264 ÷ 214
    10264 ÷ 16384     		y = 0.62646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37646484375 × 2 - 1) × π
    -0.2470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77619428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62646484375 × 2 - 1) × π
    -0.2529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.794602048102051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77619428} λ = -0.77619428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794602048102051))-π/2
    2×atan(0.451760978294344)-π/2
    2×0.42431739168652-π/2
    0.84863478337304-1.57079632675     		φ = -0.72216154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77619428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.472656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72216154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.376808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6168 KachelY 10264 -0.77619428 -0.72216154 -44.472656 -41.376808
    Oben rechts KachelX + 1 6169 KachelY 10264 -0.77581078 -0.72216154 -44.450683 -41.376808
    Unten links KachelX 6168 KachelY + 1 10265 -0.77619428 -0.72244927 -44.472656 -41.393294
    Unten rechts KachelX + 1 6169 KachelY + 1 10265 -0.77581078 -0.72244927 -44.450683 -41.393294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72216154--0.72244927) × R
    0.000287730000000042 × 6371000     		dl = 1833.12783000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72216154--0.72244927) × R
    0.000287730000000042 × 6371000     		dr = 1833.12783000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77619428--0.77581078) × cos(-0.72216154) × R
    0.000383499999999981 × 0.750378687593506 × 6371000     		do = 1833.38411425534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77619428--0.77581078) × cos(-0.72244927) × R
    0.000383499999999981 × 0.750188464648683 × 6371000     		du = 1832.91934662405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72216154)-sin(-0.72244927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750378687593506-0.750188464648683)×R²
    abs(-0.77581078--0.77619428)×0.000190222944822738×R²
    0.000383499999999981×0.000190222944822738×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190222944822738×40589641000000     		ar = 3360401.47686488m²