Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6169 / 10231
↖ ↑ ↗
← S 40.830437°
W 44.450683°		 ← 1 848.65 m → S 40.830437°
W 44.428711°		 →
↑
1 848.42 m
↓
↑
1 848.42 m
↓
S 40.847060°
W 44.450683°		 ← 1 848.19 m →
3 416 656 m²		 S 40.847060°
W 44.428711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376556396484375 y=0.624481201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376556396484375 × 214)
    floor (0.376556396484375 × 16384)
    floor (6169.5)     		tx = 6169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624481201171875 × 214)
    floor (0.624481201171875 × 16384)
    floor (10231.5)     		ty = 10231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6169 / 10231 ti = "14/6169/10231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6169/10231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6169 ÷ 214
    6169 ÷ 16384     		x = 0.37652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10231 ÷ 214
    10231 ÷ 16384     		y = 0.62445068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.2469482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77581078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.2489013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.781946706602356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77581078} λ = -0.77581078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781946706602356))-π/2
    2×atan(0.457514497336066)-π/2
    2×0.429085384134558-π/2
    0.858170768269115-1.57079632675     		φ = -0.71262556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77581078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.450683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71262556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.830437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6169 KachelY 10231 -0.77581078 -0.71262556 -44.450683 -40.830437
    Oben rechts KachelX + 1 6170 KachelY 10231 -0.77542729 -0.71262556 -44.428711 -40.830437
    Unten links KachelX 6169 KachelY + 1 10232 -0.77581078 -0.71291569 -44.450683 -40.847060
    Unten rechts KachelX + 1 6170 KachelY + 1 10232 -0.77542729 -0.71291569 -44.428711 -40.847060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71262556--0.71291569) × R
    0.00029013 × 6371000     		dl = 1848.41823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71262556--0.71291569) × R
    0.00029013 × 6371000     		dr = 1848.41823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77581078--0.77542729) × cos(-0.71262556) × R
    0.000383490000000042 × 0.756647835373912 × 6371000     		do = 1848.65318220723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77581078--0.77542729) × cos(-0.71291569) × R
    0.000383490000000042 × 0.756458109966538 × 6371000     		du = 1848.18964228589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71262556)-sin(-0.71291569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756647835373912-0.756458109966538)×R²
    abs(-0.77542729--0.77581078)×0.000189725407373831×R²
    0.000383490000000042×0.000189725407373831×6371000²
    0.000383490000000042×0.000189725407373831×40589641000000     		ar = 3416655.85908574m²