Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6169 / 10263
↖ ↑ ↗
← S 41.360319°
W 44.450683°		 ← 1 833.80 m → S 41.360319°
W 44.428711°		 →
↑
1 833.57 m
↓
↑
1 833.57 m
↓
S 41.376808°
W 44.450683°		 ← 1 833.34 m →
3 361 983 m²		 S 41.376808°
W 44.428711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376556396484375 y=0.626434326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376556396484375 × 214)
    floor (0.376556396484375 × 16384)
    floor (6169.5)     		tx = 6169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626434326171875 × 214)
    floor (0.626434326171875 × 16384)
    floor (10263.5)     		ty = 10263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6169 / 10263 ti = "14/6169/10263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6169/10263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6169 ÷ 214
    6169 ÷ 16384     		x = 0.37652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10263 ÷ 214
    10263 ÷ 16384     		y = 0.62640380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.2469482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77581078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62640380859375 × 2 - 1) × π
    -0.2528076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.79421855290509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77581078} λ = -0.77581078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.79421855290509))-π/2
    2×atan(0.45193425968386)-π/2
    2×0.424461293233677-π/2
    0.848922586467355-1.57079632675     		φ = -0.72187374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77581078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.450683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72187374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.360319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6169 KachelY 10263 -0.77581078 -0.72187374 -44.450683 -41.360319
    Oben rechts KachelX + 1 6170 KachelY 10263 -0.77542729 -0.72187374 -44.428711 -41.360319
    Unten links KachelX 6169 KachelY + 1 10264 -0.77581078 -0.72216154 -44.450683 -41.376808
    Unten rechts KachelX + 1 6170 KachelY + 1 10264 -0.77542729 -0.72216154 -44.428711 -41.376808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72187374--0.72216154) × R
    0.000287799999999949 × 6371000     		dl = 1833.57379999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72187374--0.72216154) × R
    0.000287799999999949 × 6371000     		dr = 1833.57379999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77581078--0.77542729) × cos(-0.72187374) × R
    0.000383490000000042 × 0.750568894671019 × 6371000     		do = 1833.80102437439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77581078--0.77542729) × cos(-0.72216154) × R
    0.000383490000000042 × 0.750378687593506 × 6371000     		du = 1833.33630762944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72187374)-sin(-0.72216154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750568894671019-0.750378687593506)×R²
    abs(-0.77542729--0.77581078)×0.000190207077513382×R²
    0.000383490000000042×0.000190207077513382×6371000²
    0.000383490000000042×0.000190207077513382×40589641000000     		ar = 3361983.48968749m²