Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6175 / 10207
↖ ↑ ↗
← S 40.430224°
W 44.318848°		 ← 1 859.77 m → S 40.430224°
W 44.296875°		 →
↑
1 859.57 m
↓
↑
1 859.57 m
↓
S 40.446947°
W 44.318848°		 ← 1 859.30 m →
3 457 931 m²		 S 40.446947°
W 44.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376922607421875 y=0.623016357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376922607421875 × 214)
    floor (0.376922607421875 × 16384)
    floor (6175.5)     		tx = 6175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623016357421875 × 214)
    floor (0.623016357421875 × 16384)
    floor (10207.5)     		ty = 10207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6175 / 10207 ti = "14/6175/10207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6175/10207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6175 ÷ 214
    6175 ÷ 16384     		x = 0.37689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10207 ÷ 214
    10207 ÷ 16384     		y = 0.62298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.2462158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77350981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62298583984375 × 2 - 1) × π
    -0.2459716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.772742821875305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77350981} λ = -0.77350981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.772742821875305))-π/2
    2×atan(0.461744845987955)-π/2
    2×0.432577903535953-π/2
    0.865155807071905-1.57079632675     		φ = -0.70564052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77350981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.318848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70564052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.430224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6175 KachelY 10207 -0.77350981 -0.70564052 -44.318848 -40.430224
    Oben rechts KachelX + 1 6176 KachelY 10207 -0.77312632 -0.70564052 -44.296875 -40.430224
    Unten links KachelX 6175 KachelY + 1 10208 -0.77350981 -0.70593240 -44.318848 -40.446947
    Unten rechts KachelX + 1 6176 KachelY + 1 10208 -0.77312632 -0.70593240 -44.296875 -40.446947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70564052--0.70593240) × R
    0.000291880000000022 × 6371000     		dl = 1859.56748000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70564052--0.70593240) × R
    0.000291880000000022 × 6371000     		dr = 1859.56748000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77350981--0.77312632) × cos(-0.70564052) × R
    0.000383489999999931 × 0.761196316930342 × 6371000     		do = 1859.7660996174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77350981--0.77312632) × cos(-0.70593240) × R
    0.000383489999999931 × 0.76100699404595 × 6371000     		du = 1859.30354314617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70564052)-sin(-0.70593240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761196316930342-0.76100699404595)×R²
    abs(-0.77312632--0.77350981)×0.000189322884391885×R²
    0.000383489999999931×0.000189322884391885×6371000²
    0.000383489999999931×0.000189322884391885×40589641000000     		ar = 3457930.5063191m²