Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6175 / 14367
↖ ↑ ↗
← S 79.298560°
W 44.318848°		 ← 453.68 m → S 79.298560°
W 44.296875°		 →
↑
453.62 m
↓
↑
453.62 m
↓
S 79.302640°
W 44.318848°		 ← 453.51 m →
205 759 m²		 S 79.302640°
W 44.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376922607421875 y=0.876922607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376922607421875 × 214)
    floor (0.376922607421875 × 16384)
    floor (6175.5)     		tx = 6175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876922607421875 × 214)
    floor (0.876922607421875 × 16384)
    floor (14367.5)     		ty = 14367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6175 / 14367 ti = "14/6175/14367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6175/14367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6175 ÷ 214
    6175 ÷ 16384     		x = 0.37689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14367 ÷ 214
    14367 ÷ 16384     		y = 0.87689208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.2462158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77350981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.7537841796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36808284123077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77350981} λ = -0.77350981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36808284123077))-π/2
    2×atan(0.0936601155761336)-π/2
    2×0.0933876791076226-π/2
    0.186775358215245-1.57079632675     		φ = -1.38402097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77350981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.318848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38402097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.298560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6175 KachelY 14367 -0.77350981 -1.38402097 -44.318848 -79.298560
    Oben rechts KachelX + 1 6176 KachelY 14367 -0.77312632 -1.38402097 -44.296875 -79.298560
    Unten links KachelX 6175 KachelY + 1 14368 -0.77350981 -1.38409217 -44.318848 -79.302640
    Unten rechts KachelX + 1 6176 KachelY + 1 14368 -0.77312632 -1.38409217 -44.296875 -79.302640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38402097--1.38409217) × R
    7.1200000000049e-05 × 6371000     		dl = 453.615200000312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38402097--1.38409217) × R
    7.1200000000049e-05 × 6371000     		dr = 453.615200000312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77350981--0.77312632) × cos(-1.38402097) × R
    0.000383489999999931 × 0.185691305273135 × 6371000     		do = 453.683743417648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77350981--0.77312632) × cos(-1.38409217) × R
    0.000383489999999931 × 0.18562134310359 × 6371000     		du = 453.512810810275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38402097)-sin(-1.38409217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185691305273135-0.18562134310359)×R²
    abs(-0.77312632--0.77350981)×6.99621695449959e-05×R²
    0.000383489999999931×6.99621695449959e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.99621695449959e-05×40589641000000     		ar = 205759.073279878m²