Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6175 / 2079
↖ ↑ ↗
← N 65.964377°
E 91.362305°		 ← 1 990.29 m → N 65.964377°
E 91.406250°		 →
↑
1 991 m
↓
↑
1 991 m
↓
N 65.946472°
E 91.362305°		 ← 1 991.69 m →
3 964 060 m²		 N 65.946472°
E 91.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75384521484375 y=0.25384521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75384521484375 × 213)
    floor (0.75384521484375 × 8192)
    floor (6175.5)     		tx = 6175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25384521484375 × 213)
    floor (0.25384521484375 × 8192)
    floor (2079.5)     		ty = 2079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6175 / 2079 ti = "13/6175/2079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6175/2079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6175 ÷ 213
    6175 ÷ 8192     		x = 0.7537841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2079 ÷ 213
    2079 ÷ 8192     		y = 0.2537841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7537841796875 × 2 - 1) × π
    0.507568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.59457303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2537841796875 × 2 - 1) × π
    0.492431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.54701962453845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59457303} λ = 1.59457303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54701962453845))-π/2
    2×atan(4.69744913683974)-π/2
    2×1.36104594872811-π/2
    2.72209189745621-1.57079632675     		φ = 1.15129557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59457303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15129557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.964377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6175 KachelY 2079 1.59457303 1.15129557 91.362305 65.964377
    Oben rechts KachelX + 1 6176 KachelY 2079 1.59534002 1.15129557 91.406250 65.964377
    Unten links KachelX 6175 KachelY + 1 2080 1.59457303 1.15098306 91.362305 65.946472
    Unten rechts KachelX + 1 6176 KachelY + 1 2080 1.59534002 1.15098306 91.406250 65.946472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15129557-1.15098306) × R
    0.000312510000000099 × 6371000     		dl = 1991.00121000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15129557-1.15098306) × R
    0.000312510000000099 × 6371000     		dr = 1991.00121000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59457303-1.59534002) × cos(1.15129557) × R
    0.000766990000000023 × 0.407304548813524 × 6371000     		do = 1990.29094476382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59457303-1.59534002) × cos(1.15098306) × R
    0.000766990000000023 × 0.407589941927033 × 6371000     		du = 1991.685516298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15129557)-sin(1.15098306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407304548813524-0.407589941927033)×R²
    abs(1.59534002-1.59457303)×0.000285393113509669×R²
    0.000766990000000023×0.000285393113509669×6371000²
    0.000766990000000023×0.000285393113509669×40589641000000     		ar = 3964060.00834608m²