Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6176 / 10271
↖ ↑ ↗
← S 41.492121°
W 44.296875°		 ← 1 830.13 m → S 41.492121°
W 44.274902°		 →
↑
1 829.88 m
↓
↑
1 829.88 m
↓
S 41.508577°
W 44.296875°		 ← 1 829.67 m →
3 348 490 m²		 S 41.508577°
W 44.274902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376983642578125 y=0.626922607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376983642578125 × 214)
    floor (0.376983642578125 × 16384)
    floor (6176.5)     		tx = 6176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626922607421875 × 214)
    floor (0.626922607421875 × 16384)
    floor (10271.5)     		ty = 10271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6176 / 10271 ti = "14/6176/10271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6176/10271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6176 ÷ 214
    6176 ÷ 16384     		x = 0.376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10271 ÷ 214
    10271 ÷ 16384     		y = 0.62689208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376953125 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.2537841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.797286514480774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77312632} λ = -0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797286514480774))-π/2
    2×atan(0.450549867457363)-π/2
    2×0.42331110226203-π/2
    0.84662220452406-1.57079632675     		φ = -0.72417412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72417412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.492121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6176 KachelY 10271 -0.77312632 -0.72417412 -44.296875 -41.492121
    Oben rechts KachelX + 1 6177 KachelY 10271 -0.77274282 -0.72417412 -44.274902 -41.492121
    Unten links KachelX 6176 KachelY + 1 10272 -0.77312632 -0.72446134 -44.296875 -41.508577
    Unten rechts KachelX + 1 6177 KachelY + 1 10272 -0.77274282 -0.72446134 -44.274902 -41.508577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72417412--0.72446134) × R
    0.000287219999999921 × 6371000     		dl = 1829.8786199995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72417412--0.72446134) × R
    0.000287219999999921 × 6371000     		dr = 1829.8786199995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77312632--0.77274282) × cos(-0.72417412) × R
    0.000383499999999981 × 0.749046836935897 × 6371000     		do = 1830.13003217839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77312632--0.77274282) × cos(-0.72446134) × R
    0.000383499999999981 × 0.748856517896165 × 6371000     		du = 1829.66502976048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72417412)-sin(-0.72446134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749046836935897-0.748856517896165)×R²
    abs(-0.77274282--0.77312632)×0.000190319039732323×R²
    0.000383499999999981×0.000190319039732323×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190319039732323×40589641000000     		ar = 3348490.39173123m²