Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6176 / 10272
↖ ↑ ↗
← S 41.508577°
W 44.296875°		 ← 1 829.67 m → S 41.508577°
W 44.274902°		 →
↑
1 829.43 m
↓
↑
1 829.43 m
↓
S 41.525030°
W 44.296875°		 ← 1 829.20 m →
3 346 824 m²		 S 41.525030°
W 44.274902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376983642578125 y=0.626983642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376983642578125 × 214)
    floor (0.376983642578125 × 16384)
    floor (6176.5)     		tx = 6176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626983642578125 × 214)
    floor (0.626983642578125 × 16384)
    floor (10272.5)     		ty = 10272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6176 / 10272 ti = "14/6176/10272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6176/10272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6176 ÷ 214
    6176 ÷ 16384     		x = 0.376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10272 ÷ 214
    10272 ÷ 16384     		y = 0.626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376953125 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626953125 × 2 - 1) × π
    -0.25390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.797670009677734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77312632} λ = -0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797670009677734))-π/2
    2×atan(0.450377116873829)-π/2
    2×0.423167492576542-π/2
    0.846334985153084-1.57079632675     		φ = -0.72446134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72446134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.508577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6176 KachelY 10272 -0.77312632 -0.72446134 -44.296875 -41.508577
    Oben rechts KachelX + 1 6177 KachelY 10272 -0.77274282 -0.72446134 -44.274902 -41.508577
    Unten links KachelX 6176 KachelY + 1 10273 -0.77312632 -0.72474849 -44.296875 -41.525030
    Unten rechts KachelX + 1 6177 KachelY + 1 10273 -0.77274282 -0.72474849 -44.274902 -41.525030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72446134--0.72474849) × R
    0.000287150000000014 × 6371000     		dl = 1829.43265000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72446134--0.72474849) × R
    0.000287150000000014 × 6371000     		dr = 1829.43265000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77312632--0.77274282) × cos(-0.72446134) × R
    0.000383499999999981 × 0.748856517896165 × 6371000     		do = 1829.66502976048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77312632--0.77274282) × cos(-0.72474849) × R
    0.000383499999999981 × 0.748666183485572 × 6371000     		du = 1829.19998978726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72446134)-sin(-0.72474849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748856517896165-0.748666183485572)×R²
    abs(-0.77274282--0.77312632)×0.000190334410592796×R²
    0.000383499999999981×0.000190334410592796×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190334410592796×40589641000000     		ar = 3346823.58734788m²