Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6176 / 2144
↖ ↑ ↗
← N 78.767792°
W 44.296875°		 ← 475.92 m → N 78.767792°
W 44.274902°		 →
↑
475.98 m
↓
↑
475.98 m
↓
N 78.763511°
W 44.296875°		 ← 476.09 m →
226 568 m²		 N 78.763511°
W 44.274902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376983642578125 y=0.130889892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376983642578125 × 214)
    floor (0.376983642578125 × 16384)
    floor (6176.5)     		tx = 6176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130889892578125 × 214)
    floor (0.130889892578125 × 16384)
    floor (2144.5)     		ty = 2144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6176 / 2144 ti = "14/6176/2144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6176/2144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6176 ÷ 214
    6176 ÷ 16384     		x = 0.376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2144 ÷ 214
    2144 ÷ 16384     		y = 0.130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376953125 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130859375 × 2 - 1) × π
    0.73828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3193789512168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77312632} λ = -0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3193789512168))-π/2
    2×atan(10.169356677908)-π/2
    2×1.4727768187408-π/2
    2.9455536374816-1.57079632675     		φ = 1.37475731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37475731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.767792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6176 KachelY 2144 -0.77312632 1.37475731 -44.296875 78.767792
    Oben rechts KachelX + 1 6177 KachelY 2144 -0.77274282 1.37475731 -44.274902 78.767792
    Unten links KachelX 6176 KachelY + 1 2145 -0.77312632 1.37468260 -44.296875 78.763511
    Unten rechts KachelX + 1 6177 KachelY + 1 2145 -0.77274282 1.37468260 -44.274902 78.763511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37475731-1.37468260) × R
    7.47099999998113e-05 × 6371000     		dl = 475.977409998798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37475731-1.37468260) × R
    7.47099999998113e-05 × 6371000     		dr = 475.977409998798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77312632--0.77274282) × cos(1.37475731) × R
    0.000383499999999981 × 0.194785755193382 × 6371000     		do = 475.915847770229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77312632--0.77274282) × cos(1.37468260) × R
    0.000383499999999981 × 0.194859033640422 × 6371000     		du = 476.094887424397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37475731)-sin(1.37468260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194785755193382-0.194859033640422)×R²
    abs(-0.77274282--0.77312632)×7.32784470407755e-05×R²
    0.000383499999999981×7.32784470407755e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.32784470407755e-05×40589641000000     		ar = 226567.802119749m²