Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6177 / 2079
↖ ↑ ↗
← N 79.042615°
W 44.274902°		 ← 464.40 m → N 79.042615°
W 44.252930°		 →
↑
464.51 m
↓
↑
464.51 m
↓
N 79.038438°
W 44.274902°		 ← 464.58 m →
215 760 m²		 N 79.038438°
W 44.252930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377044677734375 y=0.126922607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377044677734375 × 214)
    floor (0.377044677734375 × 16384)
    floor (6177.5)     		tx = 6177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126922607421875 × 214)
    floor (0.126922607421875 × 16384)
    floor (2079.5)     		ty = 2079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6177 / 2079 ti = "14/6177/2079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6177/2079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6177 ÷ 214
    6177 ÷ 16384     		x = 0.37701416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2079 ÷ 214
    2079 ÷ 16384     		y = 0.12689208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37701416015625 × 2 - 1) × π
    -0.2459716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77274282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12689208984375 × 2 - 1) × π
    0.7462158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34430613901923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77274282} λ = -0.77274282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34430613901923))-π/2
    2×atan(10.4260359976341)-π/2
    2×1.47517510176203-π/2
    2.95035020352405-1.57079632675     		φ = 1.37955388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77274282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.274902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37955388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.042615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6177 KachelY 2079 -0.77274282 1.37955388 -44.274902 79.042615
    Oben rechts KachelX + 1 6178 KachelY 2079 -0.77235933 1.37955388 -44.252930 79.042615
    Unten links KachelX 6177 KachelY + 1 2080 -0.77274282 1.37948097 -44.274902 79.038438
    Unten rechts KachelX + 1 6178 KachelY + 1 2080 -0.77235933 1.37948097 -44.252930 79.038438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37955388-1.37948097) × R
    7.29100000000926e-05 × 6371000     		dl = 464.50961000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37955388-1.37948097) × R
    7.29100000000926e-05 × 6371000     		dr = 464.50961000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77274282--0.77235933) × cos(1.37955388) × R
    0.000383490000000042 × 0.190078836908826 × 6371000     		do = 464.403425601693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77274282--0.77235933) × cos(1.37948097) × R
    0.000383490000000042 × 0.190150417168949 × 6371000     		du = 464.578311551896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37955388)-sin(1.37948097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190078836908826-0.190150417168949)×R²
    abs(-0.77235933--0.77274282)×7.15802601223836e-05×R²
    0.000383490000000042×7.15802601223836e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.15802601223836e-05×40589641000000     		ar = 215760.472306019m²