Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6178 / 6178
↖ ↑ ↗
← S 67.101655°
E 91.494141°		 ← 1 901.32 m → S 67.101655°
E 91.538086°		 →
↑
1 900.66 m
↓
↑
1 900.66 m
↓
S 67.118748°
E 91.494141°		 ← 1 899.98 m →
3 612 490 m²		 S 67.118748°
E 91.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75421142578125 y=0.75421142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75421142578125 × 213)
    floor (0.75421142578125 × 8192)
    floor (6178.5)     		tx = 6178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75421142578125 × 213)
    floor (0.75421142578125 × 8192)
    floor (6178.5)     		ty = 6178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6178 / 6178 ti = "13/6178/6178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6178/6178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6178 ÷ 213
    6178 ÷ 8192     		x = 0.754150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6178 ÷ 213
    6178 ÷ 8192     		y = 0.754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.754150390625 × 2 - 1) × π
    0.50830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.59687400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754150390625 × 2 - 1) × π
    -0.50830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59687400014331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59687400} λ = 1.59687400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59687400014331))-π/2
    2×atan(0.20252863396344)-π/2
    2×0.199825752130835-π/2
    0.39965150426167-1.57079632675     		φ = -1.17114482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59687400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.494141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17114482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.101655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6178 KachelY 6178 1.59687400 -1.17114482 91.494141 -67.101655
    Oben rechts KachelX + 1 6179 KachelY 6178 1.59764099 -1.17114482 91.538086 -67.101655
    Unten links KachelX 6178 KachelY + 1 6179 1.59687400 -1.17144315 91.494141 -67.118748
    Unten rechts KachelX + 1 6179 KachelY + 1 6179 1.59764099 -1.17144315 91.538086 -67.118748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17114482--1.17144315) × R
    0.000298329999999902 × 6371000     		dl = 1900.66042999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17114482--1.17144315) × R
    0.000298329999999902 × 6371000     		dr = 1900.66042999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59687400-1.59764099) × cos(-1.17114482) × R
    0.000766990000000023 × 0.389097335170307 × 6371000     		do = 1901.32151746664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59687400-1.59764099) × cos(-1.17144315) × R
    0.000766990000000023 × 0.388822497263486 × 6371000     		du = 1899.97852387912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17114482)-sin(-1.17144315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389097335170307-0.388822497263486)×R²
    abs(1.59764099-1.59687400)×0.000274837906821257×R²
    0.000766990000000023×0.000274837906821257×6371000²
    0.000766990000000023×0.000274837906821257×40589641000000     		ar = 3612490.31236093m²