Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6180 / 10276
↖ ↑ ↗
← S 41.574361°
W 44.208985°		 ← 1 827.80 m → S 41.574361°
W 44.187012°		 →
↑
1 827.52 m
↓
↑
1 827.52 m
↓
S 41.590797°
W 44.208985°		 ← 1 827.34 m →
3 339 927 m²		 S 41.590797°
W 44.187012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377227783203125 y=0.627227783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377227783203125 × 214)
    floor (0.377227783203125 × 16384)
    floor (6180.5)     		tx = 6180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627227783203125 × 214)
    floor (0.627227783203125 × 16384)
    floor (10276.5)     		ty = 10276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6180 / 10276 ti = "14/6180/10276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6180/10276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6180 ÷ 214
    6180 ÷ 16384     		x = 0.377197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10276 ÷ 214
    10276 ÷ 16384     		y = 0.627197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377197265625 × 2 - 1) × π
    -0.24560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77159234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627197265625 × 2 - 1) × π
    -0.25439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.799203990465576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77159234} λ = -0.77159234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799203990465576))-π/2
    2×atan(0.449686776648952)-π/2
    2×0.422593418804373-π/2
    0.845186837608745-1.57079632675     		φ = -0.72560949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77159234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.208985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72560949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.574361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6180 KachelY 10276 -0.77159234 -0.72560949 -44.208985 -41.574361
    Oben rechts KachelX + 1 6181 KachelY 10276 -0.77120884 -0.72560949 -44.187012 -41.574361
    Unten links KachelX 6180 KachelY + 1 10277 -0.77159234 -0.72589634 -44.208985 -41.590797
    Unten rechts KachelX + 1 6181 KachelY + 1 10277 -0.77120884 -0.72589634 -44.187012 -41.590797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72560949--0.72589634) × R
    0.000286850000000061 × 6371000     		dl = 1827.52135000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72560949--0.72589634) × R
    0.000286850000000061 × 6371000     		dr = 1827.52135000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77159234--0.77120884) × cos(-0.72560949) × R
    0.000383499999999981 × 0.748095108544688 × 6371000     		do = 1827.80469466231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77159234--0.77120884) × cos(-0.72589634) × R
    0.000383499999999981 × 0.747904726541378 × 6371000     		du = 1827.33953840684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72560949)-sin(-0.72589634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748095108544688-0.747904726541378)×R²
    abs(-0.77120884--0.77159234)×0.000190382003309342×R²
    0.000383499999999981×0.000190382003309342×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190382003309342×40589641000000     		ar = 3339927.08453342m²