Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6181 / 10275
↖ ↑ ↗
← S 41.557921°
W 44.187012°		 ← 1 828.22 m → S 41.557921°
W 44.165039°		 →
↑
1 828.03 m
↓
↑
1 828.03 m
↓
S 41.574361°
W 44.187012°		 ← 1 827.76 m →
3 341 622 m²		 S 41.574361°
W 44.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377288818359375 y=0.627166748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377288818359375 × 214)
    floor (0.377288818359375 × 16384)
    floor (6181.5)     		tx = 6181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627166748046875 × 214)
    floor (0.627166748046875 × 16384)
    floor (10275.5)     		ty = 10275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6181 / 10275 ti = "14/6181/10275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6181/10275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6181 ÷ 214
    6181 ÷ 16384     		x = 0.37725830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10275 ÷ 214
    10275 ÷ 16384     		y = 0.62713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.2454833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77120884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.2542724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.798820495268616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77120884} λ = -0.77120884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798820495268616))-π/2
    2×atan(0.449859262439555)-π/2
    2×0.422736882496851-π/2
    0.845473764993702-1.57079632675     		φ = -0.72532256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77120884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.187012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72532256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.557921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6181 KachelY 10275 -0.77120884 -0.72532256 -44.187012 -41.557921
    Oben rechts KachelX + 1 6182 KachelY 10275 -0.77082535 -0.72532256 -44.165039 -41.557921
    Unten links KachelX 6181 KachelY + 1 10276 -0.77120884 -0.72560949 -44.187012 -41.574361
    Unten rechts KachelX + 1 6182 KachelY + 1 10276 -0.77082535 -0.72560949 -44.165039 -41.574361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72532256--0.72560949) × R
    0.000286930000000019 × 6371000     		dl = 1828.03103000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72532256--0.72560949) × R
    0.000286930000000019 × 6371000     		dr = 1828.03103000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77120884--0.77082535) × cos(-0.72532256) × R
    0.000383490000000042 × 0.748285482062695 × 6371000     		do = 1828.22215691806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77120884--0.77082535) × cos(-0.72560949) × R
    0.000383490000000042 × 0.748095108544688 × 6371000     		du = 1827.75703352324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72532256)-sin(-0.72560949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748285482062695-0.748095108544688)×R²
    abs(-0.77082535--0.77120884)×0.00019037351800788×R²
    0.000383490000000042×0.00019037351800788×6371000²
    0.000383490000000042×0.00019037351800788×40589641000000     		ar = 3341621.72550635m²