Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6192 / 10224
↖ ↑ ↗
← S 40.713956°
W 43.945312°		 ← 1 851.90 m → S 40.713956°
W 43.923340°		 →
↑
1 851.67 m
↓
↑
1 851.67 m
↓
S 40.730608°
W 43.945312°		 ← 1 851.43 m →
3 428 668 m²		 S 40.730608°
W 43.923340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377960205078125 y=0.624053955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377960205078125 × 214)
    floor (0.377960205078125 × 16384)
    floor (6192.5)     		tx = 6192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624053955078125 × 214)
    floor (0.624053955078125 × 16384)
    floor (10224.5)     		ty = 10224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6192 / 10224 ti = "14/6192/10224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6192/10224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6192 ÷ 214
    6192 ÷ 16384     		x = 0.3779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10224 ÷ 214
    10224 ÷ 16384     		y = 0.6240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3779296875 × 2 - 1) × π
    -0.244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76699039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6240234375 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.779262240223633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76699039} λ = -0.76699039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779262240223633))-π/2
    2×atan(0.458744329605081)-π/2
    2×0.430101873065779-π/2
    0.860203746131559-1.57079632675     		φ = -0.71059258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76699039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71059258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.713956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6192 KachelY 10224 -0.76699039 -0.71059258 -43.945312 -40.713956
    Oben rechts KachelX + 1 6193 KachelY 10224 -0.76660690 -0.71059258 -43.923340 -40.713956
    Unten links KachelX 6192 KachelY + 1 10225 -0.76699039 -0.71088322 -43.945312 -40.730608
    Unten rechts KachelX + 1 6193 KachelY + 1 10225 -0.76660690 -0.71088322 -43.923340 -40.730608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71059258--0.71088322) × R
    0.000290640000000009 × 6371000     		dl = 1851.66744000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71059258--0.71088322) × R
    0.000290640000000009 × 6371000     		dr = 1851.66744000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76699039--0.76660690) × cos(-0.71059258) × R
    0.000383490000000042 × 0.757975479207299 × 6371000     		do = 1851.89690125681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76699039--0.76660690) × cos(-0.71088322) × R
    0.000383490000000042 × 0.757785867651592 × 6371000     		du = 1851.43363949955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71059258)-sin(-0.71088322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757975479207299-0.757785867651592)×R²
    abs(-0.76660690--0.76699039)×0.000189611555707625×R²
    0.000383490000000042×0.000189611555707625×6371000²
    0.000383490000000042×0.000189611555707625×40589641000000     		ar = 3428668.31507411m²