Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6196 / 10228
↖ ↑ ↗
← S 40.780542°
W 43.857422°		 ← 1 850.04 m → S 40.780542°
W 43.835449°		 →
↑
1 849.82 m
↓
↑
1 849.82 m
↓
S 40.797177°
W 43.857422°		 ← 1 849.58 m →
3 421 819 m²		 S 40.797177°
W 43.835449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378204345703125 y=0.624298095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378204345703125 × 214)
    floor (0.378204345703125 × 16384)
    floor (6196.5)     		tx = 6196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624298095703125 × 214)
    floor (0.624298095703125 × 16384)
    floor (10228.5)     		ty = 10228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6196 / 10228 ti = "14/6196/10228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6196/10228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6196 ÷ 214
    6196 ÷ 16384     		x = 0.378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10228 ÷ 214
    10228 ÷ 16384     		y = 0.624267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.24365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76545641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624267578125 × 2 - 1) × π
    -0.24853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.780796221011475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76545641} λ = -0.76545641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780796221011475))-π/2
    2×atan(0.458041164076026)-π/2
    2×0.429520804039935-π/2
    0.85904160807987-1.57079632675     		φ = -0.71175472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76545641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71175472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.780542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6196 KachelY 10228 -0.76545641 -0.71175472 -43.857422 -40.780542
    Oben rechts KachelX + 1 6197 KachelY 10228 -0.76507292 -0.71175472 -43.835449 -40.780542
    Unten links KachelX 6196 KachelY + 1 10229 -0.76545641 -0.71204507 -43.857422 -40.797177
    Unten rechts KachelX + 1 6197 KachelY + 1 10229 -0.76507292 -0.71204507 -43.835449 -40.797177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71175472--0.71204507) × R
    0.000290349999999995 × 6371000     		dl = 1849.81984999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71175472--0.71204507) × R
    0.000290349999999995 × 6371000     		dr = 1849.81984999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76545641--0.76507292) × cos(-0.71175472) × R
    0.000383489999999931 × 0.757216923308942 × 6371000     		do = 1850.04358626637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76545641--0.76507292) × cos(-0.71204507) × R
    0.000383489999999931 × 0.757027245377436 × 6371000     		du = 1849.58016233878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71175472)-sin(-0.71204507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757216923308942-0.757027245377436)×R²
    abs(-0.76507292--0.76545641)×0.000189677931506149×R²
    0.000383489999999931×0.000189677931506149×6371000²
    0.000383489999999931×0.000189677931506149×40589641000000     		ar = 3421818.74788979m²