Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6207 / 10177
↖ ↑ ↗
← S 39.926589°
W 43.615723°		 ← 1 873.67 m → S 39.926589°
W 43.593750°		 →
↑
1 873.39 m
↓
↑
1 873.39 m
↓
S 39.943436°
W 43.615723°		 ← 1 873.21 m →
3 509 689 m²		 S 39.943436°
W 43.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378875732421875 y=0.621185302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378875732421875 × 214)
    floor (0.378875732421875 × 16384)
    floor (6207.5)     		tx = 6207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621185302734375 × 214)
    floor (0.621185302734375 × 16384)
    floor (10177.5)     		ty = 10177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6207 / 10177 ti = "14/6207/10177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6207/10177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6207 ÷ 214
    6207 ÷ 16384     		x = 0.37884521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10177 ÷ 214
    10177 ÷ 16384     		y = 0.62115478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.2423095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76123797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62115478515625 × 2 - 1) × π
    -0.2423095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.761237965966492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76123797} λ = -0.76123797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.761237965966492))-π/2
    2×atan(0.467087830105133)-π/2
    2×0.436972949880308-π/2
    0.873945899760615-1.57079632675     		φ = -0.69685043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76123797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.615723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69685043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.926589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6207 KachelY 10177 -0.76123797 -0.69685043 -43.615723 -39.926589
    Oben rechts KachelX + 1 6208 KachelY 10177 -0.76085447 -0.69685043 -43.593750 -39.926589
    Unten links KachelX 6207 KachelY + 1 10178 -0.76123797 -0.69714448 -43.615723 -39.943436
    Unten rechts KachelX + 1 6208 KachelY + 1 10178 -0.76085447 -0.69714448 -43.593750 -39.943436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69685043--0.69714448) × R
    0.000294049999999935 × 6371000     		dl = 1873.39254999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69685043--0.69714448) × R
    0.000294049999999935 × 6371000     		dr = 1873.39254999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76123797--0.76085447) × cos(-0.69685043) × R
    0.000383500000000092 × 0.766867399096869 × 6371000     		do = 1873.67062856475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76123797--0.76085447) × cos(-0.69714448) × R
    0.000383500000000092 × 0.766678643017404 × 6371000     		du = 1873.20944489405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69685043)-sin(-0.69714448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766867399096869-0.766678643017404)×R²
    abs(-0.76085447--0.76123797)×0.000188756079464891×R²
    0.000383500000000092×0.000188756079464891×6371000²
    0.000383500000000092×0.000188756079464891×40589641000000     		ar = 3509688.63296973m²