Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6207 / 2113
↖ ↑ ↗
← N 65.348514°
E 92.768555°		 ← 2 038.14 m → N 65.348514°
E 92.812500°		 →
↑
2 038.85 m
↓
↑
2 038.85 m
↓
N 65.330178°
E 92.768555°		 ← 2 039.57 m →
4 156 915 m²		 N 65.330178°
E 92.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75775146484375 y=0.25799560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75775146484375 × 213)
    floor (0.75775146484375 × 8192)
    floor (6207.5)     		tx = 6207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25799560546875 × 213)
    floor (0.25799560546875 × 8192)
    floor (2113.5)     		ty = 2113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6207 / 2113 ti = "13/6207/2113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6207/2113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6207 ÷ 213
    6207 ÷ 8192     		x = 0.7576904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2113 ÷ 213
    2113 ÷ 8192     		y = 0.2579345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7576904296875 × 2 - 1) × π
    0.515380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.61911672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2579345703125 × 2 - 1) × π
    0.484130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52094195114514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61911672} λ = 1.61911672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52094195114514))-π/2
    2×atan(4.57653403694121)-π/2
    2×1.35567152686954-π/2
    2.71134305373908-1.57079632675     		φ = 1.14054673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61911672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.768555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14054673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.348514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6207 KachelY 2113 1.61911672 1.14054673 92.768555 65.348514
    Oben rechts KachelX + 1 6208 KachelY 2113 1.61988371 1.14054673 92.812500 65.348514
    Unten links KachelX 6207 KachelY + 1 2114 1.61911672 1.14022671 92.768555 65.330178
    Unten rechts KachelX + 1 6208 KachelY + 1 2114 1.61988371 1.14022671 92.812500 65.330178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14054673-1.14022671) × R
    0.000320019999999976 × 6371000     		dl = 2038.84741999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14054673-1.14022671) × R
    0.000320019999999976 × 6371000     		dr = 2038.84741999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61911672-1.61988371) × cos(1.14054673) × R
    0.000766990000000023 × 0.417097664379419 × 6371000     		do = 2038.14493826477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61911672-1.61988371) × cos(1.14022671) × R
    0.000766990000000023 × 0.417388496928577 × 6371000     		du = 2039.56608956474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14054673)-sin(1.14022671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417097664379419-0.417388496928577)×R²
    abs(1.61988371-1.61911672)×0.000290832549157904×R²
    0.000766990000000023×0.000290832549157904×6371000²
    0.000766990000000023×0.000290832549157904×40589641000000     		ar = 4156915.33977601m²