Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6208 / 6209
↖ ↑ ↗
← S 67.625954°
E 92.812500°		 ← 1 860.05 m → S 67.625954°
E 92.856445°		 →
↑
1 859.44 m
↓
↑
1 859.44 m
↓
S 67.642677°
E 92.812500°		 ← 1 858.73 m →
3 457 427 m²		 S 67.642677°
E 92.856445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75787353515625 y=0.75799560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75787353515625 × 213)
    floor (0.75787353515625 × 8192)
    floor (6208.5)     		tx = 6208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75799560546875 × 213)
    floor (0.75799560546875 × 8192)
    floor (6209.5)     		ty = 6209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6208 / 6209 ti = "13/6208/6209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6208/6209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6208 ÷ 213
    6208 ÷ 8192     		x = 0.7578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6209 ÷ 213
    6209 ÷ 8192     		y = 0.7579345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7578125 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.61988371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7579345703125 × 2 - 1) × π
    -0.515869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62065070235486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61988371} λ = 1.61988371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62065070235486))-π/2
    2×atan(0.197769967821507)-π/2
    2×0.195250381464166-π/2
    0.390500762928331-1.57079632675     		φ = -1.18029556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61988371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18029556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.625954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6208 KachelY 6209 1.61988371 -1.18029556 92.812500 -67.625954
    Oben rechts KachelX + 1 6209 KachelY 6209 1.62065070 -1.18029556 92.856445 -67.625954
    Unten links KachelX 6208 KachelY + 1 6210 1.61988371 -1.18058742 92.812500 -67.642677
    Unten rechts KachelX + 1 6209 KachelY + 1 6210 1.62065070 -1.18058742 92.856445 -67.642677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18029556--1.18058742) × R
    0.000291859999999922 × 6371000     		dl = 1859.4400599995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18029556--1.18058742) × R
    0.000291859999999922 × 6371000     		dr = 1859.4400599995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61988371-1.62065070) × cos(-1.18029556) × R
    0.000766990000000023 × 0.380651531179853 × 6371000     		do = 1860.05115293863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61988371-1.62065070) × cos(-1.18058742) × R
    0.000766990000000023 × 0.380381626612921 × 6371000     		du = 1858.73226608338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18029556)-sin(-1.18058742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380651531179853-0.380381626612921)×R²
    abs(1.62065070-1.61988371)×0.000269904566932322×R²
    0.000766990000000023×0.000269904566932322×6371000²
    0.000766990000000023×0.000269904566932322×40589641000000     		ar = 3457427.45643865m²