Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6210 / 10302
↖ ↑ ↗
← S 42.000325°
W 43.549805°		 ← 1 815.65 m → S 42.000325°
W 43.527832°		 →
↑
1 815.48 m
↓
↑
1 815.48 m
↓
S 42.016652°
W 43.549805°		 ← 1 815.19 m →
3 295 859 m²		 S 42.016652°
W 43.527832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379058837890625 y=0.628814697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379058837890625 × 214)
    floor (0.379058837890625 × 16384)
    floor (6210.5)     		tx = 6210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628814697265625 × 214)
    floor (0.628814697265625 × 16384)
    floor (10302.5)     		ty = 10302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6210 / 10302 ti = "14/6210/10302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6210/10302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6210 ÷ 214
    6210 ÷ 16384     		x = 0.3790283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10302 ÷ 214
    10302 ÷ 16384     		y = 0.6287841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3790283203125 × 2 - 1) × π
    -0.241943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76008748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6287841796875 × 2 - 1) × π
    -0.257568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.809174865586548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76008748} λ = -0.76008748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809174865586548))-π/2
    2×atan(0.44522528540424)-π/2
    2×0.418876183032895-π/2
    0.83775236606579-1.57079632675     		φ = -0.73304396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76008748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.549805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73304396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.000325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6210 KachelY 10302 -0.76008748 -0.73304396 -43.549805 -42.000325
    Oben rechts KachelX + 1 6211 KachelY 10302 -0.75970399 -0.73304396 -43.527832 -42.000325
    Unten links KachelX 6210 KachelY + 1 10303 -0.76008748 -0.73332892 -43.549805 -42.016652
    Unten rechts KachelX + 1 6211 KachelY + 1 10303 -0.75970399 -0.73332892 -43.527832 -42.016652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73304396--0.73332892) × R
    0.000284960000000001 × 6371000     		dl = 1815.48016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73304396--0.73332892) × R
    0.000284960000000001 × 6371000     		dr = 1815.48016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76008748--0.75970399) × cos(-0.73304396) × R
    0.000383490000000042 × 0.743141028709716 × 6371000     		do = 1815.65315239959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76008748--0.75970399) × cos(-0.73332892) × R
    0.000383490000000042 × 0.74295032188077 × 6371000     		du = 1815.18721465456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73304396)-sin(-0.73332892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743141028709716-0.74295032188077)×R²
    abs(-0.75970399--0.76008748)×0.000190706828945841×R²
    0.000383490000000042×0.000190706828945841×6371000²
    0.000383490000000042×0.000190706828945841×40589641000000     		ar = 3295859.34756059m²