Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6212 / 10308
↖ ↑ ↗
← S 42.098222°
W 43.505859°		 ← 1 812.90 m → S 42.098222°
W 43.483886°		 →
↑
1 812.68 m
↓
↑
1 812.68 m
↓
S 42.114524°
W 43.505859°		 ← 1 812.44 m →
3 285 788 m²		 S 42.114524°
W 43.483886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379180908203125 y=0.629180908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379180908203125 × 214)
    floor (0.379180908203125 × 16384)
    floor (6212.5)     		tx = 6212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629180908203125 × 214)
    floor (0.629180908203125 × 16384)
    floor (10308.5)     		ty = 10308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6212 / 10308 ti = "14/6212/10308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6212/10308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6212 ÷ 214
    6212 ÷ 16384     		x = 0.379150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10308 ÷ 214
    10308 ÷ 16384     		y = 0.629150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.24169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75932049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629150390625 × 2 - 1) × π
    -0.25830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.811475836768311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75932049} λ = -0.75932049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.811475836768311))-π/2
    2×atan(0.444202012565264)-π/2
    2×0.41802186824999-π/2
    0.836043736499979-1.57079632675     		φ = -0.73475259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75932049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.505859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73475259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.098222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6212 KachelY 10308 -0.75932049 -0.73475259 -43.505859 -42.098222
    Oben rechts KachelX + 1 6213 KachelY 10308 -0.75893699 -0.73475259 -43.483886 -42.098222
    Unten links KachelX 6212 KachelY + 1 10309 -0.75932049 -0.73503711 -43.505859 -42.114524
    Unten rechts KachelX + 1 6213 KachelY + 1 10309 -0.75893699 -0.73503711 -43.483886 -42.114524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73475259--0.73503711) × R
    0.00028452000000001 × 6371000     		dl = 1812.67692000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73475259--0.73503711) × R
    0.00028452000000001 × 6371000     		dr = 1812.67692000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75932049--0.75893699) × cos(-0.73475259) × R
    0.000383499999999981 × 0.741996640664448 × 6371000     		do = 1812.90443920758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75932049--0.75893699) × cos(-0.73503711) × R
    0.000383499999999981 × 0.741805867402181 × 6371000     		du = 1812.43832699751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73475259)-sin(-0.73503711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741996640664448-0.741805867402181)×R²
    abs(-0.75893699--0.75932049)×0.000190773262267019×R²
    0.000383499999999981×0.000190773262267019×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190773262267019×40589641000000     		ar = 3285787.60186016m²