Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6216 / 2120
↖ ↑ ↗
← N 65.219894°
E 93.164063°		 ← 2 048.11 m → N 65.219894°
E 93.208008°		 →
↑
2 048.85 m
↓
↑
2 048.85 m
↓
N 65.201468°
E 93.164063°		 ← 2 049.54 m →
4 197 730 m²		 N 65.201468°
E 93.208008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75885009765625 y=0.25885009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75885009765625 × 213)
    floor (0.75885009765625 × 8192)
    floor (6216.5)     		tx = 6216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25885009765625 × 213)
    floor (0.25885009765625 × 8192)
    floor (2120.5)     		ty = 2120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6216 / 2120 ti = "13/6216/2120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6216/2120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6216 ÷ 213
    6216 ÷ 8192     		x = 0.7587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2120 ÷ 213
    2120 ÷ 8192     		y = 0.2587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7587890625 × 2 - 1) × π
    0.517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62601964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2587890625 × 2 - 1) × π
    0.482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5155730183877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62601964} λ = 1.62601964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5155730183877))-π/2
    2×atan(4.55202877584876)-π/2
    2×1.35454910688186-π/2
    2.70909821376373-1.57079632675     		φ = 1.13830189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62601964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13830189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.219894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6216 KachelY 2120 1.62601964 1.13830189 93.164063 65.219894
    Oben rechts KachelX + 1 6217 KachelY 2120 1.62678663 1.13830189 93.208008 65.219894
    Unten links KachelX 6216 KachelY + 1 2121 1.62601964 1.13798030 93.164063 65.201468
    Unten rechts KachelX + 1 6217 KachelY + 1 2121 1.62678663 1.13798030 93.208008 65.201468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13830189-1.13798030) × R
    0.000321589999999983 × 6371000     		dl = 2048.84988999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13830189-1.13798030) × R
    0.000321589999999983 × 6371000     		dr = 2048.84988999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62601964-1.62678663) × cos(1.13830189) × R
    0.000766990000000023 × 0.419136860759979 × 6371000     		do = 2048.10945769536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62601964-1.62678663) × cos(1.13798030) × R
    0.000766990000000023 × 0.419428818059824 × 6371000     		du = 2049.53610508202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13830189)-sin(1.13798030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419136860759979-0.419428818059824)×R²
    abs(1.62678663-1.62601964)×0.000291957299845658×R²
    0.000766990000000023×0.000291957299845658×6371000²
    0.000766990000000023×0.000291957299845658×40589641000000     		ar = 4197730.3664558m²