Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 624 / 112
↖ ↑ ↗
← N 80.178713°
E 39.375000°		 ← 6 668.14 m → N 80.178713°
E 39.726563°		 →
↑
6 688.34 m
↓
↑
6 688.34 m
↓
N 80.118564°
E 39.375000°		 ← 6 708.58 m →
44 734 024 m²		 N 80.118564°
E 39.726563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60986328125 y=0.10986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60986328125 × 210)
    floor (0.60986328125 × 1024)
    floor (624.5)     		tx = 624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10986328125 × 210)
    floor (0.10986328125 × 1024)
    floor (112.5)     		ty = 112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 624 / 112 ti = "10/624/112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/624/112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 624 ÷ 210
    624 ÷ 1024     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 112 ÷ 210
    112 ÷ 1024     		y = 0.109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109375 × 2 - 1) × π
    0.78125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45436926054687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45436926054687))-π/2
    2×atan(11.6390899999285)-π/2
    2×1.48508943365266-π/2
    2.97017886730533-1.57079632675     		φ = 1.39938254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39938254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.178713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 624 KachelY 112 0.68722339 1.39938254 39.375000 80.178713
    Oben rechts KachelX + 1 625 KachelY 112 0.69335932 1.39938254 39.726563 80.178713
    Unten links KachelX 624 KachelY + 1 113 0.68722339 1.39833273 39.375000 80.118564
    Unten rechts KachelX + 1 625 KachelY + 1 113 0.69335932 1.39833273 39.726563 80.118564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39938254-1.39833273) × R
    0.00104981000000004 × 6371000     		dl = 6688.33951000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39938254-1.39833273) × R
    0.00104981000000004 × 6371000     		dr = 6688.33951000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.69335932) × cos(1.39938254) × R
    0.00613593000000001 × 0.170575586251288 × 6371000     		do = 6668.14252860848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.69335932) × cos(1.39833273) × R
    0.00613593000000001 × 0.171609916673991 × 6371000     		du = 6708.57658386714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39938254)-sin(1.39833273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170575586251288-0.171609916673991)×R²
    abs(0.69335932-0.68722339)×0.00103433042270362×R²
    0.00613593000000001×0.00103433042270362×6371000²
    0.00613593000000001×0.00103433042270362×40589641000000     		ar = 44734023.5855062m²