Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6240 / 14432
↖ ↑ ↗
← S 79.560546°
W 42.890625°		 ← 442.70 m → S 79.560546°
W 42.868652°		 →
↑
442.59 m
↓
↑
442.59 m
↓
S 79.564527°
W 42.890625°		 ← 442.53 m →
195 900 m²		 S 79.564527°
W 42.868652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380889892578125 y=0.880889892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380889892578125 × 214)
    floor (0.380889892578125 × 16384)
    floor (6240.5)     		tx = 6240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.880889892578125 × 214)
    floor (0.880889892578125 × 16384)
    floor (14432.5)     		ty = 14432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6240 / 14432 ti = "14/6240/14432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6240/14432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6240 ÷ 214
    6240 ÷ 16384     		x = 0.380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14432 ÷ 214
    14432 ÷ 16384     		y = 0.880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380859375 × 2 - 1) × π
    -0.23828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74858262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.880859375 × 2 - 1) × π
    -0.76171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.3930100290332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74858262} λ = -0.74858262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3930100290332))-π/2
    2×atan(0.0913542905476178)-π/2
    2×0.0911014199096706-π/2
    0.182202839819341-1.57079632675     		φ = -1.38859349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74858262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38859349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.560546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6240 KachelY 14432 -0.74858262 -1.38859349 -42.890625 -79.560546
    Oben rechts KachelX + 1 6241 KachelY 14432 -0.74819913 -1.38859349 -42.868652 -79.560546
    Unten links KachelX 6240 KachelY + 1 14433 -0.74858262 -1.38866296 -42.890625 -79.564527
    Unten rechts KachelX + 1 6241 KachelY + 1 14433 -0.74819913 -1.38866296 -42.868652 -79.564527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38859349--1.38866296) × R
    6.94699999999049e-05 × 6371000     		dl = 442.593369999394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38859349--1.38866296) × R
    6.94699999999049e-05 × 6371000     		dr = 442.593369999394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74858262--0.74819913) × cos(-1.38859349) × R
    0.000383489999999931 × 0.181196384390541 × 6371000     		do = 442.701686237415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74858262--0.74819913) × cos(-1.38866296) × R
    0.000383489999999931 × 0.181128063894917 × 6371000     		du = 442.534764592047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38859349)-sin(-1.38866296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181196384390541-0.181128063894917)×R²
    abs(-0.74819913--0.74858262)×6.83204956237193e-05×R²
    0.000383489999999931×6.83204956237193e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.83204956237193e-05×40589641000000     		ar = 195899.89208863m²