Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 625 / 111
↖ ↑ ↗
← N 80.238500°
E 39.726563°		 ← 6 627.93 m → N 80.238500°
E 40.078125°		 →
↑
6 648.01 m
↓
↑
6 648.01 m
↓
N 80.178713°
E 39.726563°		 ← 6 668.13 m →
44 196 201 m²		 N 80.178713°
E 40.078125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.61083984375 y=0.10888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.61083984375 × 210)
    floor (0.61083984375 × 1024)
    floor (625.5)     		tx = 625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10888671875 × 210)
    floor (0.10888671875 × 1024)
    floor (111.5)     		ty = 111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 625 / 111 ti = "10/625/111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/625/111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 625 ÷ 210
    625 ÷ 1024     		x = 0.6103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 111 ÷ 210
    111 ÷ 1024     		y = 0.1083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6103515625 × 2 - 1) × π
    0.220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69335932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1083984375 × 2 - 1) × π
    0.783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46050518369824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69335932} λ = 0.69335932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46050518369824))-π/2
    2×atan(11.7107261138092)-π/2
    2×1.48561117409006-π/2
    2.97122234818012-1.57079632675     		φ = 1.40042602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69335932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.726563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40042602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.238500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 625 KachelY 111 0.69335932 1.40042602 39.726563 80.238500
    Oben rechts KachelX + 1 626 KachelY 111 0.69949524 1.40042602 40.078125 80.238500
    Unten links KachelX 625 KachelY + 1 112 0.69335932 1.39938254 39.726563 80.178713
    Unten rechts KachelX + 1 626 KachelY + 1 112 0.69949524 1.39938254 40.078125 80.178713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40042602-1.39938254) × R
    0.0010434800000001 × 6371000     		dl = 6648.01108000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40042602-1.39938254) × R
    0.0010434800000001 × 6371000     		dr = 6648.01108000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69335932-0.69949524) × cos(1.40042602) × R
    0.00613591999999996 × 0.169547306195044 × 6371000     		do = 6627.93419247721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69335932-0.69949524) × cos(1.39938254) × R
    0.00613591999999996 × 0.170575586251288 × 6371000     		du = 6668.13166123782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40042602)-sin(1.39938254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169547306195044-0.170575586251288)×R²
    abs(0.69949524-0.69335932)×0.00102828005624378×R²
    0.00613591999999996×0.00102828005624378×6371000²
    0.00613591999999996×0.00102828005624378×40589641000000     		ar = 44196200.5682364m²