Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6256 / 10384
↖ ↑ ↗
← S 43.325178°
W 42.539062°		 ← 1 777.37 m → S 43.325178°
W 42.517090°		 →
↑
1 777.13 m
↓
↑
1 777.13 m
↓
S 43.341160°
W 42.539062°		 ← 1 776.90 m →
3 158 194 m²		 S 43.341160°
W 42.517090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381866455078125 y=0.633819580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381866455078125 × 214)
    floor (0.381866455078125 × 16384)
    floor (6256.5)     		tx = 6256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633819580078125 × 214)
    floor (0.633819580078125 × 16384)
    floor (10384.5)     		ty = 10384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6256 / 10384 ti = "14/6256/10384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6256/10384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6256 ÷ 214
    6256 ÷ 16384     		x = 0.3818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10384 ÷ 214
    10384 ÷ 16384     		y = 0.6337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3818359375 × 2 - 1) × π
    -0.236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74244670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6337890625 × 2 - 1) × π
    -0.267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.840621471737305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74244670} λ = -0.74244670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840621471737305))-π/2
    2×atan(0.43144231089196)-π/2
    2×0.40731466364247-π/2
    0.81462932728494-1.57079632675     		φ = -0.75616700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74244670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.539062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75616700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.325178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6256 KachelY 10384 -0.74244670 -0.75616700 -42.539062 -43.325178
    Oben rechts KachelX + 1 6257 KachelY 10384 -0.74206321 -0.75616700 -42.517090 -43.325178
    Unten links KachelX 6256 KachelY + 1 10385 -0.74244670 -0.75644594 -42.539062 -43.341160
    Unten rechts KachelX + 1 6257 KachelY + 1 10385 -0.74206321 -0.75644594 -42.517090 -43.341160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75616700--0.75644594) × R
    0.00027893999999995 × 6371000     		dl = 1777.12673999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75616700--0.75644594) × R
    0.00027893999999995 × 6371000     		dr = 1777.12673999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74244670--0.74206321) × cos(-0.75616700) × R
    0.000383490000000042 × 0.727471315575443 × 6371000     		do = 1777.36867751487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74244670--0.74206321) × cos(-0.75644594) × R
    0.000383490000000042 × 0.727279895916415 × 6371000     		du = 1776.90099817284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75616700)-sin(-0.75644594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727471315575443-0.727279895916415)×R²
    abs(-0.74206321--0.74244670)×0.000191419659027581×R²
    0.000383490000000042×0.000191419659027581×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191419659027581×40589641000000     		ar = 3158193.861395m²