Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6256 / 10416
↖ ↑ ↗
← S 43.834527°
W 42.539062°		 ← 1 762.40 m → S 43.834527°
W 42.517090°		 →
↑
1 762.15 m
↓
↑
1 762.15 m
↓
S 43.850374°
W 42.539062°		 ← 1 761.93 m →
3 105 202 m²		 S 43.850374°
W 42.517090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381866455078125 y=0.635772705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381866455078125 × 214)
    floor (0.381866455078125 × 16384)
    floor (6256.5)     		tx = 6256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635772705078125 × 214)
    floor (0.635772705078125 × 16384)
    floor (10416.5)     		ty = 10416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6256 / 10416 ti = "14/6256/10416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6256/10416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6256 ÷ 214
    6256 ÷ 16384     		x = 0.3818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10416 ÷ 214
    10416 ÷ 16384     		y = 0.6357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3818359375 × 2 - 1) × π
    -0.236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74244670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6357421875 × 2 - 1) × π
    -0.271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.852893318040039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74244670} λ = -0.74244670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852893318040039))-π/2
    2×atan(0.426180071898415)-π/2
    2×0.402869754204406-π/2
    0.805739508408813-1.57079632675     		φ = -0.76505682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74244670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.539062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76505682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.834527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6256 KachelY 10416 -0.74244670 -0.76505682 -42.539062 -43.834527
    Oben rechts KachelX + 1 6257 KachelY 10416 -0.74206321 -0.76505682 -42.517090 -43.834527
    Unten links KachelX 6256 KachelY + 1 10417 -0.74244670 -0.76533341 -42.539062 -43.850374
    Unten rechts KachelX + 1 6257 KachelY + 1 10417 -0.74206321 -0.76533341 -42.517090 -43.850374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76505682--0.76533341) × R
    0.000276590000000021 × 6371000     		dl = 1762.15489000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76505682--0.76533341) × R
    0.000276590000000021 × 6371000     		dr = 1762.15489000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74244670--0.74206321) × cos(-0.76505682) × R
    0.000383490000000042 × 0.721343006319873 × 6371000     		do = 1762.39590170397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74244670--0.74206321) × cos(-0.76533341) × R
    0.000383490000000042 × 0.721151418584958 × 6371000     		du = 1761.92781171644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76505682)-sin(-0.76533341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721343006319873-0.721151418584958)×R²
    abs(-0.74206321--0.74244670)×0.000191587734914789×R²
    0.000383490000000042×0.000191587734914789×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191587734914789×40589641000000     		ar = 3105202.15256903m²