Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6271 / 10369
↖ ↑ ↗
← S 43.084938°
W 42.209472°		 ← 1 784.38 m → S 43.084938°
W 42.187500°		 →
↑
1 784.13 m
↓
↑
1 784.13 m
↓
S 43.100983°
W 42.209472°		 ← 1 783.91 m →
3 183 161 m²		 S 43.100983°
W 42.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382781982421875 y=0.632904052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382781982421875 × 214)
    floor (0.382781982421875 × 16384)
    floor (6271.5)     		tx = 6271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632904052734375 × 214)
    floor (0.632904052734375 × 16384)
    floor (10369.5)     		ty = 10369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6271 / 10369 ti = "14/6271/10369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6271/10369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6271 ÷ 214
    6271 ÷ 16384     		x = 0.38275146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10369 ÷ 214
    10369 ÷ 16384     		y = 0.63287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38275146484375 × 2 - 1) × π
    -0.2344970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73669427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.2657470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.834869043782898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73669427} λ = -0.73669427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834869043782898))-π/2
    2×atan(0.433931303714311)-π/2
    2×0.409411155347058-π/2
    0.818822310694115-1.57079632675     		φ = -0.75197402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73669427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.209472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75197402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.084938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6271 KachelY 10369 -0.73669427 -0.75197402 -42.209472 -43.084938
    Oben rechts KachelX + 1 6272 KachelY 10369 -0.73631078 -0.75197402 -42.187500 -43.084938
    Unten links KachelX 6271 KachelY + 1 10370 -0.73669427 -0.75225406 -42.209472 -43.100983
    Unten rechts KachelX + 1 6272 KachelY + 1 10370 -0.73631078 -0.75225406 -42.187500 -43.100983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75197402--0.75225406) × R
    0.000280039999999926 × 6371000     		dl = 1784.13483999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75197402--0.75225406) × R
    0.000280039999999926 × 6371000     		dr = 1784.13483999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73669427--0.73631078) × cos(-0.75197402) × R
    0.000383489999999931 × 0.730341875597 × 6371000     		do = 1784.38207221461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73669427--0.73631078) × cos(-0.75225406) × R
    0.000383489999999931 × 0.730150556734798 × 6371000     		du = 1783.91463914087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75197402)-sin(-0.75225406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730341875597-0.730150556734798)×R²
    abs(-0.73631078--0.73669427)×0.000191318862201473×R²
    0.000383489999999931×0.000191318862201473×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191318862201473×40589641000000     		ar = 3183161.26189416m²