Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6271 / 2175
↖ ↑ ↗
← N 78.634337°
W 42.209472°		 ← 481.48 m → N 78.634337°
W 42.187500°		 →
↑
481.58 m
↓
↑
481.58 m
↓
N 78.630006°
W 42.209472°		 ← 481.67 m →
231 919 m²		 N 78.630006°
W 42.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382781982421875 y=0.132781982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382781982421875 × 214)
    floor (0.382781982421875 × 16384)
    floor (6271.5)     		tx = 6271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132781982421875 × 214)
    floor (0.132781982421875 × 16384)
    floor (2175.5)     		ty = 2175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6271 / 2175 ti = "14/6271/2175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6271/2175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6271 ÷ 214
    6271 ÷ 16384     		x = 0.38275146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2175 ÷ 214
    2175 ÷ 16384     		y = 0.13275146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38275146484375 × 2 - 1) × π
    -0.2344970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73669427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13275146484375 × 2 - 1) × π
    0.7344970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30749060011102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73669427} λ = -0.73669427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30749060011102))-π/2
    2×atan(10.0491755881552)-π/2
    2×1.4716122021738-π/2
    2.94322440434761-1.57079632675     		φ = 1.37242808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73669427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.209472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37242808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.634337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6271 KachelY 2175 -0.73669427 1.37242808 -42.209472 78.634337
    Oben rechts KachelX + 1 6272 KachelY 2175 -0.73631078 1.37242808 -42.187500 78.634337
    Unten links KachelX 6271 KachelY + 1 2176 -0.73669427 1.37235249 -42.209472 78.630006
    Unten rechts KachelX + 1 6272 KachelY + 1 2176 -0.73631078 1.37235249 -42.187500 78.630006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37242808-1.37235249) × R
    7.55900000000143e-05 × 6371000     		dl = 481.583890000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37242808-1.37235249) × R
    7.55900000000143e-05 × 6371000     		dr = 481.583890000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73669427--0.73631078) × cos(1.37242808) × R
    0.000383489999999931 × 0.197069840234881 × 6371000     		do = 481.483948324712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73669427--0.73631078) × cos(1.37235249) × R
    0.000383489999999931 × 0.197143947310492 × 6371000     		du = 481.665007827888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37242808)-sin(1.37235249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197069840234881-0.197143947310492)×R²
    abs(-0.73631078--0.73669427)×7.41070756109519e-05×R²
    0.000383489999999931×7.41070756109519e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.41070756109519e-05×40589641000000     		ar = 231918.510588388m²