Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 6272 / 14464
↖ ↑ ↗
← N 20.632784°
W111.093750°		 ← 1 143.28 m → N 20.632784°
W111.082764°		 →
↑
1 143.34 m
↓
↑
1 143.34 m
↓
N 20.622502°
W111.093750°		 ← 1 143.36 m →
1 307 203 m²		 N 20.622502°
W111.082764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.191421508789062 y=0.441421508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.191421508789062 × 215)
    floor (0.191421508789062 × 32768)
    floor (6272.5)     		tx = 6272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441421508789062 × 215)
    floor (0.441421508789062 × 32768)
    floor (14464.5)     		ty = 14464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6272 / 14464 ti = "15/6272/14464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6272/14464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6272 ÷ 215
    6272 ÷ 32768     		x = 0.19140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14464 ÷ 215
    14464 ÷ 32768     		y = 0.44140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.19140625 × 2 - 1) × π
    -0.6171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.93895172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44140625 × 2 - 1) × π
    0.1171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93895172} λ = -1.93895172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368155389082031))-π/2
    2×atan(1.44506656909631)-π/2
    2×0.965453172903975-π/2
    1.93090634580795-1.57079632675     		φ = 0.36011002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93895172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36011002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.632784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6272 KachelY 14464 -1.93895172 0.36011002 -111.093750 20.632784
    Oben rechts KachelX + 1 6273 KachelY 14464 -1.93875997 0.36011002 -111.082764 20.632784
    Unten links KachelX 6272 KachelY + 1 14465 -1.93895172 0.35993056 -111.093750 20.622502
    Unten rechts KachelX + 1 6273 KachelY + 1 14465 -1.93875997 0.35993056 -111.082764 20.622502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36011002-0.35993056) × R
    0.000179459999999965 × 6371000     		dl = 1143.33965999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36011002-0.35993056) × R
    0.000179459999999965 × 6371000     		dr = 1143.33965999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93895172--1.93875997) × cos(0.36011002) × R
    0.000191749999999935 × 0.935858060802633 × 6371000     		do = 1143.280939505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93895172--1.93875997) × cos(0.35993056) × R
    0.000191749999999935 × 0.935921283344267 × 6371000     		du = 1143.35817464334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36011002)-sin(0.35993056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935858060802633-0.935921283344267)×R²
    abs(-1.93875997--1.93895172)×6.32225416338228e-05×R²
    0.000191749999999935×6.32225416338228e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.32225416338228e-05×40589641000000     		ar = 1307202.59716486m²