Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6272 / 2175
↖ ↑ ↗
← N 64.187249°
E 95.625000°		 ← 2 127.73 m → N 64.187249°
E 95.668945°		 →
↑
2 128.49 m
↓
↑
2 128.49 m
↓
N 64.168107°
E 95.625000°		 ← 2 129.20 m →
4 530 417 m²		 N 64.168107°
E 95.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76568603515625 y=0.26556396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76568603515625 × 213)
    floor (0.76568603515625 × 8192)
    floor (6272.5)     		tx = 6272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26556396484375 × 213)
    floor (0.26556396484375 × 8192)
    floor (2175.5)     		ty = 2175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6272 / 2175 ti = "13/6272/2175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6272/2175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6272 ÷ 213
    6272 ÷ 8192     		x = 0.765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2175 ÷ 213
    2175 ÷ 8192     		y = 0.2655029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765625 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66897110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2655029296875 × 2 - 1) × π
    0.468994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.47338854672205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66897110} λ = 1.66897110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47338854672205))-π/2
    2×atan(4.36399772527092)-π/2
    2×1.34553757699024-π/2
    2.69107515398047-1.57079632675     		φ = 1.12027883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66897110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12027883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.187249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6272 KachelY 2175 1.66897110 1.12027883 95.625000 64.187249
    Oben rechts KachelX + 1 6273 KachelY 2175 1.66973809 1.12027883 95.668945 64.187249
    Unten links KachelX 6272 KachelY + 1 2176 1.66897110 1.11994474 95.625000 64.168107
    Unten rechts KachelX + 1 6273 KachelY + 1 2176 1.66973809 1.11994474 95.668945 64.168107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12027883-1.11994474) × R
    0.000334089999999954 × 6371000     		dl = 2128.4873899997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12027883-1.11994474) × R
    0.000334089999999954 × 6371000     		dr = 2128.4873899997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66897110-1.66973809) × cos(1.12027883) × R
    0.000766990000000023 × 0.435431454337352 × 6371000     		do = 2127.73287987447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66897110-1.66973809) × cos(1.11994474) × R
    0.000766990000000023 × 0.435732185161907 × 6371000     		du = 2129.20239903076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12027883)-sin(1.11994474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435431454337352-0.435732185161907)×R²
    abs(1.66973809-1.66897110)×0.000300730824555118×R²
    0.000766990000000023×0.000300730824555118×6371000²
    0.000766990000000023×0.000300730824555118×40589641000000     		ar = 4530416.57273472m²