Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6273 / 10367
↖ ↑ ↗
← S 43.052834°
W 42.165527°		 ← 1 785.32 m → S 43.052834°
W 42.143555°		 →
↑
1 785.15 m
↓
↑
1 785.15 m
↓
S 43.068888°
W 42.165527°		 ← 1 784.85 m →
3 186 649 m²		 S 43.068888°
W 42.143555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382904052734375 y=0.632781982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382904052734375 × 214)
    floor (0.382904052734375 × 16384)
    floor (6273.5)     		tx = 6273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632781982421875 × 214)
    floor (0.632781982421875 × 16384)
    floor (10367.5)     		ty = 10367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6273 / 10367 ti = "14/6273/10367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6273/10367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6273 ÷ 214
    6273 ÷ 16384     		x = 0.38287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10367 ÷ 214
    10367 ÷ 16384     		y = 0.63275146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.2342529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73592728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63275146484375 × 2 - 1) × π
    -0.2655029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.834102053388977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73592728} λ = -0.73592728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834102053388977))-π/2
    2×atan(0.434264252523828)-π/2
    2×0.40969131131771-π/2
    0.819382622635421-1.57079632675     		φ = -0.75141370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73592728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.165527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75141370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.052834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6273 KachelY 10367 -0.73592728 -0.75141370 -42.165527 -43.052834
    Oben rechts KachelX + 1 6274 KachelY 10367 -0.73554379 -0.75141370 -42.143555 -43.052834
    Unten links KachelX 6273 KachelY + 1 10368 -0.73592728 -0.75169390 -42.165527 -43.068888
    Unten rechts KachelX + 1 6274 KachelY + 1 10368 -0.73554379 -0.75169390 -42.143555 -43.068888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75141370--0.75169390) × R
    0.000280200000000064 × 6371000     		dl = 1785.15420000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75141370--0.75169390) × R
    0.000280200000000064 × 6371000     		dr = 1785.15420000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73592728--0.73554379) × cos(-0.75141370) × R
    0.000383489999999931 × 0.730724505322326 × 6371000     		do = 1785.31691881862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73592728--0.73554379) × cos(-0.75169390) × R
    0.000383489999999931 × 0.730533191814215 × 6371000     		du = 1784.84949882608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75141370)-sin(-0.75169390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730724505322326-0.730533191814215)×R²
    abs(-0.73554379--0.73592728)×0.000191313508110968×R²
    0.000383489999999931×0.000191313508110968×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191313508110968×40589641000000     		ar = 3186648.80842932m²