Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6273 / 10368
↖ ↑ ↗
← S 43.068888°
W 42.165527°		 ← 1 784.85 m → S 43.068888°
W 42.143555°		 →
↑
1 784.64 m
↓
↑
1 784.64 m
↓
S 43.084938°
W 42.165527°		 ← 1 784.38 m →
3 184 905 m²		 S 43.084938°
W 42.143555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382904052734375 y=0.632843017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382904052734375 × 214)
    floor (0.382904052734375 × 16384)
    floor (6273.5)     		tx = 6273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632843017578125 × 214)
    floor (0.632843017578125 × 16384)
    floor (10368.5)     		ty = 10368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6273 / 10368 ti = "14/6273/10368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6273/10368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6273 ÷ 214
    6273 ÷ 16384     		x = 0.38287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10368 ÷ 214
    10368 ÷ 16384     		y = 0.6328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.2342529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73592728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6328125 × 2 - 1) × π
    -0.265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.834485548585937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73592728} λ = -0.73592728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834485548585937))-π/2
    2×atan(0.434097746198003)-π/2
    2×0.409551214990565-π/2
    0.819102429981129-1.57079632675     		φ = -0.75169390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73592728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.165527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75169390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.068888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6273 KachelY 10368 -0.73592728 -0.75169390 -42.165527 -43.068888
    Oben rechts KachelX + 1 6274 KachelY 10368 -0.73554379 -0.75169390 -42.143555 -43.068888
    Unten links KachelX 6273 KachelY + 1 10369 -0.73592728 -0.75197402 -42.165527 -43.084938
    Unten rechts KachelX + 1 6274 KachelY + 1 10369 -0.73554379 -0.75197402 -42.143555 -43.084938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75169390--0.75197402) × R
    0.000280119999999995 × 6371000     		dl = 1784.64451999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75169390--0.75197402) × R
    0.000280119999999995 × 6371000     		dr = 1784.64451999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73592728--0.73554379) × cos(-0.75169390) × R
    0.000383489999999931 × 0.730533191814215 × 6371000     		do = 1784.84949882608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73592728--0.73554379) × cos(-0.75197402) × R
    0.000383489999999931 × 0.730341875597 × 6371000     		du = 1784.38207221461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75169390)-sin(-0.75197402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730533191814215-0.730341875597)×R²
    abs(-0.73554379--0.73592728)×0.000191316217215465×R²
    0.000383489999999931×0.000191316217215465×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191316217215465×40589641000000     		ar = 3184904.80276031m²