Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6273 / 2177
↖ ↑ ↗
← N 64.148952°
E 95.668945°		 ← 2 130.67 m → N 64.148952°
E 95.712891°		 →
↑
2 131.42 m
↓
↑
2 131.42 m
↓
N 64.129783°
E 95.668945°		 ← 2 132.14 m →
4 542 922 m²		 N 64.129783°
E 95.712891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76580810546875 y=0.26580810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76580810546875 × 213)
    floor (0.76580810546875 × 8192)
    floor (6273.5)     		tx = 6273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26580810546875 × 213)
    floor (0.26580810546875 × 8192)
    floor (2177.5)     		ty = 2177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6273 / 2177 ti = "13/6273/2177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6273/2177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6273 ÷ 213
    6273 ÷ 8192     		x = 0.7657470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2177 ÷ 213
    2177 ÷ 8192     		y = 0.2657470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7657470703125 × 2 - 1) × π
    0.531494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66973809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2657470703125 × 2 - 1) × π
    0.468505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4718545659342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66973809} λ = 1.66973809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4718545659342))-π/2
    2×atan(4.3573085684329)-π/2
    2×1.34520337456966-π/2
    2.69040674913931-1.57079632675     		φ = 1.11961042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66973809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11961042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.148952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6273 KachelY 2177 1.66973809 1.11961042 95.668945 64.148952
    Oben rechts KachelX + 1 6274 KachelY 2177 1.67050508 1.11961042 95.712891 64.148952
    Unten links KachelX 6273 KachelY + 1 2178 1.66973809 1.11927587 95.668945 64.129783
    Unten rechts KachelX + 1 6274 KachelY + 1 2178 1.67050508 1.11927587 95.712891 64.129783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11961042-1.11927587) × R
    0.000334550000000045 × 6371000     		dl = 2131.41805000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11961042-1.11927587) × R
    0.000334550000000045 × 6371000     		dr = 2131.41805000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66973809-1.67050508) × cos(1.11961042) × R
    0.000766990000000023 × 0.436033074335782 × 6371000     		do = 2130.67269195993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66973809-1.67050508) × cos(1.11927587) × R
    0.000766990000000023 × 0.436334121724797 × 6371000     		du = 2132.14375800633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11961042)-sin(1.11927587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436033074335782-0.436334121724797)×R²
    abs(1.67050508-1.66973809)×0.00030104738901493×R²
    0.000766990000000023×0.00030104738901493×6371000²
    0.000766990000000023×0.00030104738901493×40589641000000     		ar = 4542922.00501932m²