Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6276 / 2180
↖ ↑ ↗
← N 78.612666°
W 42.099610°		 ← 482.40 m → N 78.612666°
W 42.077637°		 →
↑
482.54 m
↓
↑
482.54 m
↓
N 78.608326°
W 42.099610°		 ← 482.58 m →
232 822 m²		 N 78.608326°
W 42.077637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383087158203125 y=0.133087158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383087158203125 × 214)
    floor (0.383087158203125 × 16384)
    floor (6276.5)     		tx = 6276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133087158203125 × 214)
    floor (0.133087158203125 × 16384)
    floor (2180.5)     		ty = 2180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6276 / 2180 ti = "14/6276/2180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6276/2180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6276 ÷ 214
    6276 ÷ 16384     		x = 0.383056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2180 ÷ 214
    2180 ÷ 16384     		y = 0.133056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383056640625 × 2 - 1) × π
    -0.23388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73477680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133056640625 × 2 - 1) × π
    0.73388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30557312412622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73477680} λ = -0.73477680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30557312412622))-π/2
    2×atan(10.0299249974688)-π/2
    2×1.47142308613162-π/2
    2.94284617226324-1.57079632675     		φ = 1.37204985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73477680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.099610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37204985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.612666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6276 KachelY 2180 -0.73477680 1.37204985 -42.099610 78.612666
    Oben rechts KachelX + 1 6277 KachelY 2180 -0.73439330 1.37204985 -42.077637 78.612666
    Unten links KachelX 6276 KachelY + 1 2181 -0.73477680 1.37197411 -42.099610 78.608326
    Unten rechts KachelX + 1 6277 KachelY + 1 2181 -0.73439330 1.37197411 -42.077637 78.608326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37204985-1.37197411) × R
    7.57399999999908e-05 × 6371000     		dl = 482.539539999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37204985-1.37197411) × R
    7.57399999999908e-05 × 6371000     		dr = 482.539539999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73477680--0.73439330) × cos(1.37204985) × R
    0.000383499999999981 × 0.19744063883236 × 6371000     		do = 482.402467885346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73477680--0.73439330) × cos(1.37197411) × R
    0.000383499999999981 × 0.197514887312289 × 6371000     		du = 482.583877600016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37204985)-sin(1.37197411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19744063883236-0.197514887312289)×R²
    abs(-0.73439330--0.73477680)×7.42484799295395e-05×R²
    0.000383499999999981×7.42484799295395e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.42484799295395e-05×40589641000000     		ar = 232822.033739606m²