Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6288 / 10383
↖ ↑ ↗
← S 43.309191°
W 41.835938°		 ← 1 777.88 m → S 43.309191°
W 41.813965°		 →
↑
1 777.64 m
↓
↑
1 777.64 m
↓
S 43.325178°
W 41.835938°		 ← 1 777.42 m →
3 160 013 m²		 S 43.325178°
W 41.813965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383819580078125 y=0.633758544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383819580078125 × 214)
    floor (0.383819580078125 × 16384)
    floor (6288.5)     		tx = 6288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633758544921875 × 214)
    floor (0.633758544921875 × 16384)
    floor (10383.5)     		ty = 10383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6288 / 10383 ti = "14/6288/10383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6288/10383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6288 ÷ 214
    6288 ÷ 16384     		x = 0.3837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10383 ÷ 214
    10383 ÷ 16384     		y = 0.63372802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3837890625 × 2 - 1) × π
    -0.232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73017486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63372802734375 × 2 - 1) × π
    -0.2674560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.840237976540344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73017486} λ = -0.73017486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840237976540344))-π/2
    2×atan(0.431607798675809)-π/2
    2×0.407454172872223-π/2
    0.814908345744446-1.57079632675     		φ = -0.75588798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73017486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.835938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75588798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.309191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6288 KachelY 10383 -0.73017486 -0.75588798 -41.835938 -43.309191
    Oben rechts KachelX + 1 6289 KachelY 10383 -0.72979136 -0.75588798 -41.813965 -43.309191
    Unten links KachelX 6288 KachelY + 1 10384 -0.73017486 -0.75616700 -41.835938 -43.325178
    Unten rechts KachelX + 1 6289 KachelY + 1 10384 -0.72979136 -0.75616700 -41.813965 -43.325178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75588798--0.75616700) × R
    0.000279020000000019 × 6371000     		dl = 1777.63642000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75588798--0.75616700) × R
    0.000279020000000019 × 6371000     		dr = 1777.63642000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73017486--0.72979136) × cos(-0.75588798) × R
    0.000383499999999981 × 0.727662733506539 × 6371000     		do = 1777.88271202767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73017486--0.72979136) × cos(-0.75616700) × R
    0.000383499999999981 × 0.727471315575443 × 6371000     		du = 1777.41502471211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75588798)-sin(-0.75616700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727662733506539-0.727471315575443)×R²
    abs(-0.72979136--0.73017486)×0.000191417931095783×R²
    0.000383499999999981×0.000191417931095783×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191417931095783×40589641000000     		ar = 3160013.39088667m²