Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6288 / 10385
↖ ↑ ↗
← S 43.341160°
W 41.835938°		 ← 1 776.95 m → S 43.341160°
W 41.813965°		 →
↑
1 776.74 m
↓
↑
1 776.74 m
↓
S 43.357138°
W 41.835938°		 ← 1 776.48 m →
3 156 766 m²		 S 43.357138°
W 41.813965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383819580078125 y=0.633880615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383819580078125 × 214)
    floor (0.383819580078125 × 16384)
    floor (6288.5)     		tx = 6288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633880615234375 × 214)
    floor (0.633880615234375 × 16384)
    floor (10385.5)     		ty = 10385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6288 / 10385 ti = "14/6288/10385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6288/10385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6288 ÷ 214
    6288 ÷ 16384     		x = 0.3837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10385 ÷ 214
    10385 ÷ 16384     		y = 0.63385009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3837890625 × 2 - 1) × π
    -0.232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73017486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63385009765625 × 2 - 1) × π
    -0.2677001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.841004966934265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73017486} λ = -0.73017486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841004966934265))-π/2
    2×atan(0.431276886559713)-π/2
    2×0.407175191117044-π/2
    0.814350382234087-1.57079632675     		φ = -0.75644594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73017486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.835938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75644594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.341160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6288 KachelY 10385 -0.73017486 -0.75644594 -41.835938 -43.341160
    Oben rechts KachelX + 1 6289 KachelY 10385 -0.72979136 -0.75644594 -41.813965 -43.341160
    Unten links KachelX 6288 KachelY + 1 10386 -0.73017486 -0.75672482 -41.835938 -43.357138
    Unten rechts KachelX + 1 6289 KachelY + 1 10386 -0.72979136 -0.75672482 -41.813965 -43.357138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75644594--0.75672482) × R
    0.000278879999999981 × 6371000     		dl = 1776.74447999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75644594--0.75672482) × R
    0.000278879999999981 × 6371000     		dr = 1776.74447999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73017486--0.72979136) × cos(-0.75644594) × R
    0.000383499999999981 × 0.727279895916415 × 6371000     		do = 1776.94733317473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73017486--0.72979136) × cos(-0.75672482) × R
    0.000383499999999981 × 0.727088460862169 × 6371000     		du = 1776.47960402254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75644594)-sin(-0.75672482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727279895916415-0.727088460862169)×R²
    abs(-0.72979136--0.73017486)×0.000191435054246458×R²
    0.000383499999999981×0.000191435054246458×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191435054246458×40589641000000     		ar = 3156765.86833448m²