Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 63 / 65
↖ ↑ ↗
← S  2.811371°
W  2.812500°		 ← 312.359 km → S  2.811371°
E  0.000000°		 →
↑
311.859 km
↓
↑
311.859 km
↓
S  5.615986°
W  2.812500°		 ← 311.235 km →
97 256.1 km²		 S  5.615986°
E  0.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49609375 y=0.51171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49609375 × 27)
    floor (0.49609375 × 128)
    floor (63.5)     		tx = 63
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51171875 × 27)
    floor (0.51171875 × 128)
    floor (65.5)     		ty = 65
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 63 / 65 ti = "7/63/65"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/63/65.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63 ÷ 27
    63 ÷ 128     		x = 0.4921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65 ÷ 27
    65 ÷ 128     		y = 0.5078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4921875 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5078125 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0490873852109375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04908739} λ = -0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0490873852109375))-π/2
    2×atan(0.95209792678504)-π/2
    2×0.760864321488474-π/2
    1.52172864297695-1.57079632675     		φ = -0.04906768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04906768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.811371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63 KachelY 65 -0.04908739 -0.04906768 -2.812500 -2.811371
    Oben rechts KachelX + 1 64 KachelY 65 0.00000000 -0.04906768 0.000000 -2.811371
    Unten links KachelX 63 KachelY + 1 66 -0.04908739 -0.09801744 -2.812500 -5.615986
    Unten rechts KachelX + 1 64 KachelY + 1 66 0.00000000 -0.09801744 0.000000 -5.615986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04906768--0.09801744) × R
    0.04894976 × 6371000     		dl = 311858.92096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04906768--0.09801744) × R
    0.04894976 × 6371000     		dr = 311858.92096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04908739-0.00000000) × cos(-0.04906768) × R
    0.04908739 × 0.9987964229002 × 6371000     		do = 312359.360088941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04908739-0.00000000) × cos(-0.09801744) × R
    0.04908739 × 0.995200135433612 × 6371000     		du = 311234.672388822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04906768)-sin(-0.09801744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9987964229002-0.995200135433612)×R²
    abs(0.00000000--0.04908739)×0.00359628746658824×R²
    0.04908739×0.00359628746658824×6371000²
    0.04908739×0.00359628746658824×40589641000000     		ar = 97256101260.2119m²