Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6303 / 10401
↖ ↑ ↗
← S 43.596306°
W 41.506348°		 ← 1 769.46 m → S 43.596306°
W 41.484375°		 →
↑
1 769.23 m
↓
↑
1 769.23 m
↓
S 43.612217°
W 41.506348°		 ← 1 768.99 m →
3 130 166 m²		 S 43.612217°
W 41.484375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384735107421875 y=0.634857177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384735107421875 × 214)
    floor (0.384735107421875 × 16384)
    floor (6303.5)     		tx = 6303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634857177734375 × 214)
    floor (0.634857177734375 × 16384)
    floor (10401.5)     		ty = 10401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6303 / 10401 ti = "14/6303/10401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6303/10401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6303 ÷ 214
    6303 ÷ 16384     		x = 0.38470458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10401 ÷ 214
    10401 ÷ 16384     		y = 0.63482666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38470458984375 × 2 - 1) × π
    -0.2305908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.72442243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63482666015625 × 2 - 1) × π
    -0.2696533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.847140890085632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72442243} λ = -0.72442243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847140890085632))-π/2
    2×atan(0.428638706838023)-π/2
    2×0.404948623436076-π/2
    0.809897246872152-1.57079632675     		φ = -0.76089908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72442243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.506348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76089908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.596306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6303 KachelY 10401 -0.72442243 -0.76089908 -41.506348 -43.596306
    Oben rechts KachelX + 1 6304 KachelY 10401 -0.72403893 -0.76089908 -41.484375 -43.596306
    Unten links KachelX 6303 KachelY + 1 10402 -0.72442243 -0.76117678 -41.506348 -43.612217
    Unten rechts KachelX + 1 6304 KachelY + 1 10402 -0.72403893 -0.76117678 -41.484375 -43.612217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76089908--0.76117678) × R
    0.000277700000000047 × 6371000     		dl = 1769.2267000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76089908--0.76117678) × R
    0.000277700000000047 × 6371000     		dr = 1769.2267000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72442243--0.72403893) × cos(-0.76089908) × R
    0.000383499999999981 × 0.724216322372776 × 6371000     		do = 1769.46216980238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72442243--0.72403893) × cos(-0.76117678) × R
    0.000383499999999981 × 0.724024800069398 × 6371000     		du = 1768.99422747627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76089908)-sin(-0.76117678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724216322372776-0.724024800069398)×R²
    abs(-0.72403893--0.72442243)×0.000191522303378044×R²
    0.000383499999999981×0.000191522303378044×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191522303378044×40589641000000     		ar = 3130165.78754181m²