Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6305 / 10399
↖ ↑ ↗
← S 43.564472°
W 41.462403°		 ← 1 770.40 m → S 43.564472°
W 41.440430°		 →
↑
1 770.12 m
↓
↑
1 770.12 m
↓
S 43.580391°
W 41.462403°		 ← 1 769.93 m →
3 133 400 m²		 S 43.580391°
W 41.440430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384857177734375 y=0.634735107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384857177734375 × 214)
    floor (0.384857177734375 × 16384)
    floor (6305.5)     		tx = 6305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634735107421875 × 214)
    floor (0.634735107421875 × 16384)
    floor (10399.5)     		ty = 10399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6305 / 10399 ti = "14/6305/10399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6305/10399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6305 ÷ 214
    6305 ÷ 16384     		x = 0.38482666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10399 ÷ 214
    10399 ÷ 16384     		y = 0.63470458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38482666015625 × 2 - 1) × π
    -0.2303466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72365544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63470458984375 × 2 - 1) × π
    -0.2694091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.846373899691711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72365544} λ = -0.72365544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846373899691711))-π/2
    2×atan(0.42896759471943)-π/2
    2×0.405226430361975-π/2
    0.81045286072395-1.57079632675     		φ = -0.76034347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72365544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.462403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76034347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.564472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6305 KachelY 10399 -0.72365544 -0.76034347 -41.462403 -43.564472
    Oben rechts KachelX + 1 6306 KachelY 10399 -0.72327194 -0.76034347 -41.440430 -43.564472
    Unten links KachelX 6305 KachelY + 1 10400 -0.72365544 -0.76062131 -41.462403 -43.580391
    Unten rechts KachelX + 1 6306 KachelY + 1 10400 -0.72327194 -0.76062131 -41.440430 -43.580391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76034347--0.76062131) × R
    0.000277839999999974 × 6371000     		dl = 1770.11863999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76034347--0.76062131) × R
    0.000277839999999974 × 6371000     		dr = 1770.11863999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72365544--0.72327194) × cos(-0.76034347) × R
    0.000383500000000092 × 0.724599344141759 × 6371000     		do = 1770.39799865609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72365544--0.72327194) × cos(-0.76062131) × R
    0.000383500000000092 × 0.724407837082572 × 6371000     		du = 1769.93009357578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76034347)-sin(-0.76062131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724599344141759-0.724407837082572)×R²
    abs(-0.72327194--0.72365544)×0.000191507059187468×R²
    0.000383500000000092×0.000191507059187468×6371000²
    0.000383500000000092×0.000191507059187468×40589641000000     		ar = 3133400.39404473m²