Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6336 / 10304
↖ ↑ ↗
← S 42.032975°
W 40.781250°		 ← 1 814.77 m → S 42.032975°
W 40.759277°		 →
↑
1 814.46 m
↓
↑
1 814.46 m
↓
S 42.049292°
W 40.781250°		 ← 1 814.30 m →
3 292 404 m²		 S 42.049292°
W 40.759277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386749267578125 y=0.628936767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386749267578125 × 214)
    floor (0.386749267578125 × 16384)
    floor (6336.5)     		tx = 6336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628936767578125 × 214)
    floor (0.628936767578125 × 16384)
    floor (10304.5)     		ty = 10304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6336 / 10304 ti = "14/6336/10304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6336/10304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6336 ÷ 214
    6336 ÷ 16384     		x = 0.38671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10304 ÷ 214
    10304 ÷ 16384     		y = 0.62890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38671875 × 2 - 1) × π
    -0.2265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71176709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62890625 × 2 - 1) × π
    -0.2578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.809941855980469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71176709} λ = -0.71176709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809941855980469))-π/2
    2×atan(0.444883932811019)-π/2
    2×0.418591265152362-π/2
    0.837182530304723-1.57079632675     		φ = -0.73361380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71176709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73361380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.032975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6336 KachelY 10304 -0.71176709 -0.73361380 -40.781250 -42.032975
    Oben rechts KachelX + 1 6337 KachelY 10304 -0.71138359 -0.73361380 -40.759277 -42.032975
    Unten links KachelX 6336 KachelY + 1 10305 -0.71176709 -0.73389860 -40.781250 -42.049292
    Unten rechts KachelX + 1 6337 KachelY + 1 10305 -0.71138359 -0.73389860 -40.759277 -42.049292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73361380--0.73389860) × R
    0.000284799999999974 × 6371000     		dl = 1814.46079999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73361380--0.73389860) × R
    0.000284799999999974 × 6371000     		dr = 1814.46079999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71176709--0.71138359) × cos(-0.73361380) × R
    0.000383500000000092 × 0.74275960828728 × 6371000     		do = 1814.76858159717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71176709--0.71138359) × cos(-0.73389860) × R
    0.000383500000000092 × 0.742568887995514 × 6371000     		du = 1814.30259880878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73361380)-sin(-0.73389860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74275960828728-0.742568887995514)×R²
    abs(-0.71138359--0.71176709)×0.000190720291766588×R²
    0.000383500000000092×0.000190720291766588×6371000²
    0.000383500000000092×0.000190720291766588×40589641000000     		ar = 3292403.72088309m²