Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6336 / 6336
↖ ↑ ↗
← S 69.657086°
E 98.437500°		 ← 1 698.73 m → S 69.657086°
E 98.481445°		 →
↑
1 698.13 m
↓
↑
1 698.13 m
↓
S 69.672358°
E 98.437500°		 ← 1 697.51 m →
2 883 623 m²		 S 69.672358°
E 98.481445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77349853515625 y=0.77349853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77349853515625 × 213)
    floor (0.77349853515625 × 8192)
    floor (6336.5)     		tx = 6336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77349853515625 × 213)
    floor (0.77349853515625 × 8192)
    floor (6336.5)     		ty = 6336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6336 / 6336 ti = "13/6336/6336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6336/6336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6336 ÷ 213
    6336 ÷ 8192     		x = 0.7734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6336 ÷ 213
    6336 ÷ 8192     		y = 0.7734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7734375 × 2 - 1) × π
    0.546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71805848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7734375 × 2 - 1) × π
    -0.546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71805848} λ = 1.71805848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71805848238281))-π/2
    2×atan(0.179414145704914)-π/2
    2×0.177525412001084-π/2
    0.355050824002167-1.57079632675     		φ = -1.21574550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71805848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21574550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.657086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6336 KachelY 6336 1.71805848 -1.21574550 98.437500 -69.657086
    Oben rechts KachelX + 1 6337 KachelY 6336 1.71882547 -1.21574550 98.481445 -69.657086
    Unten links KachelX 6336 KachelY + 1 6337 1.71805848 -1.21601204 98.437500 -69.672358
    Unten rechts KachelX + 1 6337 KachelY + 1 6337 1.71882547 -1.21601204 98.481445 -69.672358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21574550--1.21601204) × R
    0.000266540000000148 × 6371000     		dl = 1698.12634000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21574550--1.21601204) × R
    0.000266540000000148 × 6371000     		dr = 1698.12634000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71805848-1.71882547) × cos(-1.21574550) × R
    0.000766990000000023 × 0.347638022352561 × 6371000     		do = 1698.73086357471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71805848-1.71882547) × cos(-1.21601204) × R
    0.000766990000000023 × 0.347388094420926 × 6371000     		du = 1697.50959241379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21574550)-sin(-1.21601204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347638022352561-0.347388094420926)×R²
    abs(1.71882547-1.71805848)×0.000249927931634697×R²
    0.000766990000000023×0.000249927931634697×6371000²
    0.000766990000000023×0.000249927931634697×40589641000000     		ar = 2883622.70471687m²