Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63504 / 71696
↖ ↑ ↗
← S 16.678293°
W  5.581055°		 ← 292.58 m → S 16.678293°
W  5.578308°		 →
↑
292.56 m
↓
↑
292.56 m
↓
S 16.680924°
W  5.581055°		 ← 292.57 m →
85 595 m²		 S 16.680924°
W  5.578308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484500885009766 y=0.547000885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484500885009766 × 217)
    floor (0.484500885009766 × 131072)
    floor (63504.5)     		tx = 63504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547000885009766 × 217)
    floor (0.547000885009766 × 131072)
    floor (71696.5)     		ty = 71696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63504 / 71696 ti = "17/63504/71696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63504/71696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63504 ÷ 217
    63504 ÷ 131072     		x = 0.4844970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71696 ÷ 217
    71696 ÷ 131072     		y = 0.5469970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4844970703125 × 2 - 1) × π
    -0.031005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09740778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5469970703125 × 2 - 1) × π
    -0.093994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.295291301659546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09740778} λ = -0.09740778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.295291301659546))-π/2
    2×atan(0.74431473576506)-π/2
    2×0.6398525993126-π/2
    1.2797051986252-1.57079632675     		φ = -0.29109113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09740778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.581055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29109113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.678293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63504 KachelY 71696 -0.09740778 -0.29109113 -5.581055 -16.678293
    Oben rechts KachelX + 1 63505 KachelY 71696 -0.09735984 -0.29109113 -5.578308 -16.678293
    Unten links KachelX 63504 KachelY + 1 71697 -0.09740778 -0.29113705 -5.581055 -16.680924
    Unten rechts KachelX + 1 63505 KachelY + 1 71697 -0.09735984 -0.29113705 -5.578308 -16.680924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29109113--0.29113705) × R
    4.59200000000326e-05 × 6371000     		dl = 292.556320000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29109113--0.29113705) × R
    4.59200000000326e-05 × 6371000     		dr = 292.556320000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09740778--0.09735984) × cos(-0.29109113) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.957931294097632 × 6371000     		do = 292.576874368904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09740778--0.09735984) × cos(-0.29113705) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.957918114156805 × 6371000     		du = 292.572848875724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29109113)-sin(-0.29113705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957931294097632-0.957918114156805)×R²
    abs(-0.09735984--0.09740778)×1.31799408271682e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.31799408271682e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31799408271682e-05×40589641000000     		ar = 85594.6248558141m²