Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63552 / 67648
↖ ↑ ↗
← S  5.790897°
W  5.449219°		 ← 303.87 m → S  5.790897°
W  5.446472°		 →
↑
303.83 m
↓
↑
303.83 m
↓
S  5.793629°
W  5.449219°		 ← 303.87 m →
92 325 m²		 S  5.793629°
W  5.446472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484867095947266 y=0.516117095947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484867095947266 × 217)
    floor (0.484867095947266 × 131072)
    floor (63552.5)     		tx = 63552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516117095947266 × 217)
    floor (0.516117095947266 × 131072)
    floor (67648.5)     		ty = 67648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63552 / 67648 ti = "17/63552/67648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63552/67648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63552 ÷ 217
    63552 ÷ 131072     		x = 0.48486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67648 ÷ 217
    67648 ÷ 131072     		y = 0.51611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48486328125 × 2 - 1) × π
    -0.0302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09510681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51611328125 × 2 - 1) × π
    -0.0322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.101242731997559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09510681} λ = -0.09510681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.101242731997559))-π/2
    2×atan(0.903713646042313)-π/2
    2×0.734863055384957-π/2
    1.46972611076991-1.57079632675     		φ = -0.10107022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09510681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10107022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.790897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63552 KachelY 67648 -0.09510681 -0.10107022 -5.449219 -5.790897
    Oben rechts KachelX + 1 63553 KachelY 67648 -0.09505887 -0.10107022 -5.446472 -5.790897
    Unten links KachelX 63552 KachelY + 1 67649 -0.09510681 -0.10111791 -5.449219 -5.793629
    Unten rechts KachelX + 1 63553 KachelY + 1 67649 -0.09505887 -0.10111791 -5.446472 -5.793629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10107022--0.10111791) × R
    4.7690000000003e-05 × 6371000     		dl = 303.832990000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10107022--0.10111791) × R
    4.7690000000003e-05 × 6371000     		dr = 303.832990000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09510681--0.09505887) × cos(-0.10107022) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99489675175493 × 6371000     		do = 303.867076628322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09510681--0.09505887) × cos(-0.10111791) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.994891938786853 × 6371000     		du = 303.865606623986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10107022)-sin(-0.10111791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99489675175493-0.994891938786853)×R²
    abs(-0.09505887--0.09510681)×4.81296807697262e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.81296807697262e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.81296807697262e-06×40589641000000     		ar = 92324.6191541182m²