Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 636 / 140
↖ ↑ ↗
← N 78.349410°
E 43.593750°		 ← 7 894.34 m → N 78.349410°
E 43.945312°		 →
↑
7 918.07 m
↓
↑
7 918.07 m
↓
N 78.278202°
E 43.593750°		 ← 7 941.91 m →
62 696 271 m²		 N 78.278202°
E 43.945312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62158203125 y=0.13720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62158203125 × 210)
    floor (0.62158203125 × 1024)
    floor (636.5)     		tx = 636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13720703125 × 210)
    floor (0.13720703125 × 1024)
    floor (140.5)     		ty = 140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 636 / 140 ti = "10/636/140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/636/140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 636 ÷ 210
    636 ÷ 1024     		x = 0.62109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 140 ÷ 210
    140 ÷ 1024     		y = 0.13671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62109375 × 2 - 1) × π
    0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13671875 × 2 - 1) × π
    0.7265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28256341230859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76085447} λ = 0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28256341230859))-π/2
    2×atan(9.80177422158009)-π/2
    2×1.46912575516101-π/2
    2.93825151032202-1.57079632675     		φ = 1.36745518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36745518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.349410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 636 KachelY 140 0.76085447 1.36745518 43.593750 78.349410
    Oben rechts KachelX + 1 637 KachelY 140 0.76699039 1.36745518 43.945312 78.349410
    Unten links KachelX 636 KachelY + 1 141 0.76085447 1.36621235 43.593750 78.278202
    Unten rechts KachelX + 1 637 KachelY + 1 141 0.76699039 1.36621235 43.945312 78.278202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36745518-1.36621235) × R
    0.00124283000000003 × 6371000     		dl = 7918.06993000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36745518-1.36621235) × R
    0.00124283000000003 × 6371000     		dr = 7918.06993000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76085447-0.76699039) × cos(1.36745518) × R
    0.00613592000000007 × 0.201942762110113 × 6371000     		do = 7894.33561612117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76085447-0.76699039) × cos(1.36621235) × R
    0.00613592000000007 × 0.203159830211532 × 6371000     		du = 7941.9131770096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36745518)-sin(1.36621235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201942762110113-0.203159830211532)×R²
    abs(0.76699039-0.76085447)×0.00121706810141836×R²
    0.00613592000000007×0.00121706810141836×6371000²
    0.00613592000000007×0.00121706810141836×40589641000000     		ar = 62696270.7566362m²