Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 639 / 127
↖ ↑ ↗
← N 79.237185°
E 44.648437°		 ← 7 300.18 m → N 79.237185°
E 45.000000°		 →
↑
7 322.25 m
↓
↑
7 322.25 m
↓
N 79.171334°
E 44.648437°		 ← 7 344.31 m →
53 615 338 m²		 N 79.171334°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62451171875 y=0.12451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62451171875 × 210)
    floor (0.62451171875 × 1024)
    floor (639.5)     		tx = 639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12451171875 × 210)
    floor (0.12451171875 × 1024)
    floor (127.5)     		ty = 127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 639 / 127 ti = "10/639/127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/639/127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 639 ÷ 210
    639 ÷ 1024     		x = 0.6240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 127 ÷ 210
    127 ÷ 1024     		y = 0.1240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6240234375 × 2 - 1) × π
    0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1240234375 × 2 - 1) × π
    0.751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36233041327637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77926224} λ = 0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36233041327637))-π/2
    2×atan(10.6156615274683)-π/2
    2×1.47687304757525-π/2
    2.9537460951505-1.57079632675     		φ = 1.38294977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38294977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.237185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 639 KachelY 127 0.77926224 1.38294977 44.648437 79.237185
    Oben rechts KachelX + 1 640 KachelY 127 0.78539816 1.38294977 45.000000 79.237185
    Unten links KachelX 639 KachelY + 1 128 0.77926224 1.38180046 44.648437 79.171334
    Unten rechts KachelX + 1 640 KachelY + 1 128 0.78539816 1.38180046 45.000000 79.171334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38294977-1.38180046) × R
    0.00114930999999996 × 6371000     		dl = 7322.25400999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38294977-1.38180046) × R
    0.00114930999999996 × 6371000     		dr = 7322.25400999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77926224-0.78539816) × cos(1.38294977) × R
    0.00613591999999996 × 0.186743768364246 × 6371000     		do = 7300.17736848958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77926224-0.78539816) × cos(1.38180046) × R
    0.00613591999999996 × 0.187872736870527 × 6371000     		du = 7344.31094473408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38294977)-sin(1.38180046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186743768364246-0.187872736870527)×R²
    abs(0.78539816-0.77926224)×0.00112896850628091×R²
    0.00613591999999996×0.00112896850628091×6371000²
    0.00613591999999996×0.00112896850628091×40589641000000     		ar = 53615337.5397114m²